No triângulo, existe uma relação entre as medidas dos lados com a medida dos ângulos. Devemos lembrar que, quanto à medida dos lados, os triângulos são classificados da seguinte forma: Escaleno: lados com medidas diferentes. Equilátero: lados com medidas iguais. Show
São medidas dos lados de um triângulo retângulo?O triângulo retângulo é um polígono que possui três lados e três ângulos, e um desses ângulos é reto, ou seja, possui 90º. Os outros dois ângulos são agudos, ou seja, menores que 90º. O maior lado, que fica sempre oposto ao ângulo de 90º, é conhecido como hipotenusa, e os outros dois são chamados de catetos. Quais são as medidas de um triângulo?A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180°; A soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo é igual a 360°; … O menor lado de um triângulo opõe-se ao seu menor ângulo. Como saber se três medidas formam um triângulo?Não é necessário fazer as três somas para verificar a possibilidade de um triângulo existir. Basta fazer a soma entre os dois lados menores. Se a soma entre eles for maior que o terceiro lado, então, a soma entre qualquer um deles e o terceiro lado (que é o maior) terá o mesmo resultado. Como determinar as medidas de um triângulo retângulo?Área do triângulo retângulo Para calcular-se a área de um triângulo retângulo, a fórmula é a mesma da área de um triângulo qualquer. O que diferencia o triângulo retângulo dos demais é que sua altura é igual a um dos seus catetos, então, para calcular sua área, vamos multiplicar os catetos e dividir por 2. Quais comprimentos formam um triângulo retângulo?Lados de um polígono regular Então a + b = c, e assim estes três comprimentos formam os lados de um triângulo retângulo. Quais os 3 tipos de triângulos?A fim de facilitar o estudo acerca desse polígono, vamos classificá-lo em relação ao tamanho dos lados (equilátero, isósceles e escaleno) e às medidas de seus ângulos internos (retângulo, acutângulo e obtusângulo). Quando 3 retas podem formar um triângulo?Condição de existência do triângulo Para que os três segmentos formem um triângulo, existe o que conhecemos como condição de existência, que é a seguinte: a soma de dois lados é sempre menor que o terceiro lado. Como saber se é possível construir um triângulo?Conclusão: É possível construir um triângulo se a soma das medidas de dois segmentos for maior que a medida de um terceiro segmento. Como saber se um triângulo e retângulo pelas medidas?2 Triângulo Retângulo É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 graus, então os outros dois ângulos medem 90 graus. Quais os tipos de triângulos existentes?Nesse caso, um triângulo pode ser escaleno, quando todos os lados possuem medidas diferentes; isósceles, quando existem dois lados que possuem mesma medida; ou equilátero, quando todos os lados são congruentes. Tem 3 lados 3 vértices e 3 ângulos?Triângulos são figuras geométricas formadas por três segmentos de reta que se encontram nas extremidades. Assim, são polígonos com três lados, três ângulos e três vértices. Quais as condições para formar um triângulo?Só irá existir um triângulo se, somente se, os seus lados obedeceram à seguinte regra: um de seus lados deve ser maior que o valor absoluto (módulo) da diferença dos outros dois lados e menor que a soma dos outros dois lados. Como saber se 3 retas formam um triângulo Python?Python Progressivo
Ensino Fundamental, M�dio e Superior no BrasilTrigonometria Triangulo no tri�ngulo ret�ngulo Cristiano A.Santos Material desta p�gina
1 Trigonometria e aplica��esIntroduzimos aqui alguns conceitos relacionados com a Trigonometria no tri�ngulo ret�ngulo, assunto comum no Ensino Fundamental. Tamb�m dispomos de uma p�gina mais aprofundada sobre o assunto tratado no �mbito do Ensino M�dio. A trigonometria possui uma infinidade de aplica��es pr�ticas. Desde a antiguidade j� se usava da trigonometria para obter dist�ncias imposs�veis de serem calculadas por m�todos comuns. Algumas aplica��es da trigonometria s�o:
Tudo isto � poss�vel calcular com o uso da trigonometria do tri�ngulo ret�ngulo. 2 Tri�ngulo Ret�ngulo� um tri�ngulo que possui um �ngulo reto, isto �, um dos seus �ngulos mede noventa graus, da� o nome tri�ngulo ret�ngulo. Como a soma das medidas dos �ngulos internos de um tri�ngulo � igual a 180 graus, ent�o os outros dois �ngulos medem 90 graus. Nota: Se a soma de dois �ngulos mede 90 graus, estes �ngulos s�o denominados complementares, assim, podemos dizer que o tri�ngulo ret�ngulo possui dois �ngulos complementares. Para mais detalhes sobre tri�ngulos, ver Pol�gonos. 3 Lados de um tri�ngulo ret�nguloOs lados de um tri�ngulo ret�ngulo recebem nomes especiais. Estes nomes s�o dados de acordo com a posi��o em rela��o ao �ngulo reto. O lado oposto ao �ngulo reto � a hipotenusa. Os lados que formam o �ngulo reto (adjacentes a ele) s�o os catetos.
Para padronizar o estudo da Trigonometria, adotamos as seguintes nota��es para tri�ngulos:
Para ver mais detalhes, ver �ngulos. 4 Nomenclatura dos catetosOs catetos recebem nomes especiais de acordo com a sua posi��o em rela��o ao �ngulo sob an�lise. Quando operamos com o �ngulo \(C\), o seu lado oposto, � indicado por \(c\), o cateto oposto ao �ngulo \(C\) e o lado adjacente ao �ngulo \(C\), indicado por \(b\), � o cateto adjacente ao �ngulo \(C\).
Um dos objetivos da trigonometria � mostrar a utilidade do conceitos matem�ticos no nosso cotidiano. Iniciaremos estudando as propriedades geom�tricas e trigonom�tricas no tri�ngulo ret�ngulo. O estudo da trigonometria � extenso e minucioso. 5 Propriedades do tri�ngulo ret�ngulo
6 A hipotenusa como base de um tri�ngulo ret�nguloTomando informa��es da mesma figura acima, obtemos:
7 Proje��es de segmentosIntroduzimos algumas id�ias b�sicas sobre proje��o. J� mostramos, no in�cio deste trabalho, que a luz do Sol ao incidir sobre um pr�dio, determina uma sombra que � a proje��o obl�qua do pr�dio sobre o solo. Tomando alguns segmentos de reta e uma reta n�o coincidentes � poss�vel obter as proje��es destes segmentos sobre a reta. Nas quatro situa��es apresentadas, as proje��es dos segmentos \(AB\) s�o indicadas por \(A'B'\) sendo que no �ltimo caso \(A' = B'\) � um ponto. 8 Proje��es no tri�ngulo ret�nguloAgora iremos indicar as proje��es dos catetos no tri�ngulo ret�ngulo.
9 Rela��es M�tricas no tri�ngulo ret�nguloPara extrair algumas propriedades, decompomos o tri�ngulo ret�ngulo \(ABC\) em dois tri�ngulos ret�ngulos menores: \(ACD\) e \(ADB\). Assim, o �ngulo \(A\) � decomposto na soma dos �ngulos \(C�D=B\) e \(D�B=C\). Observamos que os tri�ngulos ret�ngulos ABC, ADC e ADB s�o semelhantes.
Assim: \begin{align} \frac{a}{b} = \frac{b}{n} = \frac{c}{h} \\ \frac{a}{c} = \frac{b}{h} = \frac{c}{m} \\ \frac{b}{c} = \frac{n}{h} = \frac{h}{m} \end{align} logo: \begin{align} \frac{a}{c}=\frac{c}{m} & \Leftrightarrow c^2=a \cdot m \\ \frac{a}{b}=\frac{b}{n} & \Leftrightarrow b^2=a \cdot n \\ \frac{a}{c}=\frac{b}{h} & \Leftrightarrow a \cdot h=b \cdot c \\ \frac{h}{m}=\frac{n}{h} & \Leftrightarrow h^2=m \cdot n \end{align} Existem tamb�m outras rela��es do tri�ngulo inicial \(ABC\). Como \(a=m+n\), somando \(c^2\) com \(b^2\), obtemos: \[c^2 + b^2 = am + an = a(m+n) = a a = a^2\] que resulta no Teorema de Pit�goras: \[a^2 = b^2 + c^2\] A demonstra��o acima, � uma das v�rias demonstra��es do Teorema de Pit�goras. 10 Fun��es trigonom�tricas b�sicasAs Fun��es trigonom�tricas b�sicas s�o rela��es entre as medidas dos lados do tri�ngulo ret�ngulo e seus �ngulos. As tr�s fun��es b�sicas mais importantes da trigonometria s�o: seno, cosseno e tangente. O �ngulo � indicado pela letra \(x\). Nota��es:
Tomando um tri�ngulo ret�ngulo ABC, com hipotenusa HIP medindo 1 unidade, ent�o o seno do �ngulo sob an�lise � o seu cateto oposto CO e o cosseno do mesmo � o seu cateto adjacente CA. Portanto a tangente do �ngulo analisado ser� a raz�o entre seno e cosseno desse �ngulo. \begin{align} \text{sen}(x) & = \frac{CO}{H} = \frac{CO}{1} = CO \\ \cos(x) & = \frac{CA}{H} = \frac{CA}{1} = CA \\ \text{tan}(x) & = \frac{CO}{CA} = \frac{\text{sen}(x)}{\cos(x)} \end{align} Rela��o fundamental da Trigonometria: Para todo �ngulo \(x\) (medido em radianos), vale a importante rela��o: \[\cos^2(x) + \text{sen}^2(x) = 1\] Qual a relação envolve as medidas dos lados de um triângulo retângulo?O teorema de Pitágoras é uma relação entre os três lados de um triângulo retângulo. Quando conhecemos dois de seus lados, é possível encontrar o terceiro lado pelo teorema de Pitágoras. Essa relação diz que a soma do quadrado dos catetos é sempre igual ao quadrado da hipotenusa.
Quais são as relação métrica do triângulo retângulo?O produto entre a hipotenusa (a) e a altura (h) de um triângulo retângulo é sempre igual ao produto entre as medidas de seus catetos.
Qual é a relação do Teorema de Pitágoras com o triângulo retângulo?O Teorema de Pitágoras mostra a relação matemática entre os lados de um triângulo retângulo. O teorema de Pitágoras relaciona as medidas dos lados de um triângulo retângulo da seguinte maneira: Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Qual é a segunda relação métrica do triângulo retângulo?A segunda relação métrica não tem um nome específico, mas ela diz que: “a hipotenusa do triângulo retângulo é igual à soma das projeções de seus catetos sobre a hipotenusa”. Traduzindo para uma fórmula matemática, temos: a = m + n.
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