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Ângulo externo em polígonos regulares
Como visto anteriormente, em qualquer polígono convexo, a soma dos ângulos externos é $360^{\circ}$.
Um polígono de $n$ lados possui $n$ ângulos externos; se ele for regular, todos estes ângulos possuem a mesma medida. Portanto, o ângulo externo em um polígono regular pode ser calculado como:
$$a_e = \dfrac{360^{\circ}}{n}$$
É uma relação direta e rápida, que facilita o resolvimento de muitos exercícios.
5.1
Exemplo: ângulos externos de um octógono regular
Um octógono regular possui $8$ lados; o seu ângulo externo será:
\begin{align}
a_e &= \dfrac{360}{n} \\
a_e &= \dfrac{360}{8} \\
a_e &= 45^{\circ}
\end{align}
5.2
Exemplo: determinar o número de lados
Um polígono regular possui ângulos externos que medem $20^{\circ}$. Iremos identificar que polígono é este.
Como o polígono é regular, podemos usar a seguinte fórmula
$$a_e = \dfrac{360}{n},$$
substituindo $a_e = 20$:
\begin{align}
20 &= \dfrac{360}{n} \\
20 n &= 360 \\
n &= \dfrac{360}{20} \\
n & = 18
\end{align}
Este polígono possui $18$ lados, é o decaoctógono.
Obs.: determinar o número de lados através do ângulo externo é muito mais rápido; compare com as contas que fizemos para determinar o número de lados usando o ângulo interno.
5.3
Ângulo interno e ângulo externo de polígonos regulares
Num polígono regular, um ângulo interno é o dobro do ângulo externo. Quantos lados tem esse polígono?
Primeiro, usando a fórmula da Soma dos ângulos internos de um polígono:
\begin{align}
S_{i} &= (n – 2) \cdot 180^{o}
\end{align}
Podemos escrever que
\begin{align}
a_{i} &= \large \frac {S_{i}}{n}
\end{align}
E ainda, usando a fórmula da Soma dos ângulos externos de um polígono:
\begin{align}
S_{e} &= 360^{o}
\end{align}
Podemos escrever que
\begin{align}
a_{e} &= \large \frac {S_{e}}{n}
\end{align}
Agora, dado que $a_{i} = 2 \cdot a_{e}$,
\begin{align}
\large \frac
{S_{i}}{n} &= 2 \cdot \large \frac {S_{e}}{n} \\ \\
\large \frac {(n – 2) \cdot 180^{o}}{n} &= 2 \cdot \large \frac{360^{o}}{n} \\ \\
180n – 360 &= 720 \\ \\
n&=6
\end{align}
Logo, o polígono é um hexágono.
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Octógono regular | |
Tipo | Polígono regular |
Arestas e Vértices | 8 |
Símbolo de Schläfli | {8} t{4} |
Diagrama de Coxeter | |
Grupo de simetria | Simetria diédrica (D8) |
Área | (sendo a = comprimento da aresta) |
Ângulo interno (graus) | 135° |
Propriedades | convexo, cíclico, equilateral, isogonal |
Em geometria, o octógono é um polígono com oito lados (e portanto oito ângulos internos, oito vértices e oito ângulos externos).[1]
Octógono regular[editar | editar código-fonte]
Um octógono regular tem todos os lados de mesmo tamanho e todos os ângulos com a mesma medida.
Construção de um octógono regular com régua e compasso[editar | editar código-fonte]
A animação mostra a construção de um octógono regular com régua e compasso
Área de um octógono regular[editar | editar código-fonte]
A área de um octógono regular de lado 'a' é
Sabendo o comprimento 'm' do apótema, e considerando o octógono composto por 8 triângulos isósceles, podemos recorrer a uma fórmula mais simples
Medida dos ângulos internos[editar | editar código-fonte]
Logo:
Então:
Daí conclui-se que a medida do ângulo interno de um octógono regular é 135.
Soma dos ângulos internos[editar | editar código-fonte]
Daí conclui-se que a soma dos ângulos internos de um octógono regular é 1080.
Medidas dos ângulos externos[editar | editar código-fonte]
Logo:
Daí conclui-se que a medida do ângulo externo de um octógono regular é 45.
Medida do ângulo central[editar | editar código-fonte]
Então:
Assim, conclui-se que a medida do ângulo central de um octógono regular é 45.
Número de diagonais[editar | editar código-fonte]
Então:
Logo:
Então:
Então, conclui-se que o número de diagonais de um octógono regular é 20.
Ver também[editar | editar código-fonte]
- Lista de construções do desenho geométrico
Referências
- ↑ «significados.com.br - Significado de Octógono». www.significados.com.br
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