Qual polígono regular a medida de um ângulo interno é igual a 8 vezes a medida de um ângulo externo?

5

Ângulo externo em polígonos regulares

Como visto anteriormente, em qualquer polígono convexo, a soma dos ângulos externos é $360^{\circ}$.

Um polígono de $n$ lados possui $n$ ângulos externos; se ele for regular, todos estes ângulos possuem a mesma medida. Portanto, o ângulo externo em um polígono regular pode ser calculado como:

$$a_e = \dfrac{360^{\circ}}{n}$$

É uma relação direta e rápida, que facilita o resolvimento de muitos exercícios.

5.1

Exemplo: ângulos externos de um octógono regular

Um octógono regular possui $8$ lados; o seu ângulo externo será:

\begin{align}
a_e &= \dfrac{360}{n} \\
a_e &= \dfrac{360}{8} \\
a_e &= 45^{\circ}
\end{align}

5.2

Exemplo: determinar o número de lados

Um polígono regular possui ângulos externos que medem $20^{\circ}$. Iremos identificar que polígono é este.

Como o polígono é regular, podemos usar a seguinte fórmula

$$a_e = \dfrac{360}{n},$$

substituindo $a_e = 20$:

\begin{align}
20 &= \dfrac{360}{n} \\
20 n &= 360 \\
n &= \dfrac{360}{20} \\
n & = 18
\end{align}

Este polígono possui $18$ lados, é o decaoctógono.

Obs.: determinar o número de lados através do ângulo externo é muito mais rápido; compare com as contas que fizemos para determinar o número de lados usando o ângulo interno.

5.3

Ângulo interno e ângulo externo de polígonos regulares

Num polígono regular, um ângulo interno é o dobro do ângulo externo. Quantos lados tem esse polígono?

Primeiro, usando a fórmula da Soma dos ângulos internos de um polígono:

\begin{align}
S_{i} &= (n – 2) \cdot 180^{o}
\end{align}

Podemos escrever que

\begin{align}
a_{i} &= \large \frac {S_{i}}{n}
\end{align}

E ainda, usando a fórmula da Soma dos ângulos externos de um polígono:

\begin{align}
S_{e} &= 360^{o}
\end{align}

Podemos escrever que

\begin{align}
a_{e} &= \large \frac {S_{e}}{n}
\end{align}

Agora, dado que $a_{i} = 2 \cdot a_{e}$,

\begin{align}
\large \frac {S_{i}}{n} &= 2 \cdot \large \frac {S_{e}}{n} \\ \\
\large \frac {(n – 2) \cdot 180^{o}}{n} &= 2 \cdot \large \frac{360^{o}}{n} \\ \\
180n – 360 &= 720 \\ \\
n&=6
\end{align}

Logo, o polígono é um hexágono.