Qual o número de vértices de um poliedro convexo formado por 20 triângulos Equilateros?

Ensino Fundamental, M�dio e Superior no Brasil

Geometria

Poliedros

Daniela Harmuch e Ulysses Sodr�

Material desta p�gina

• 1 Poliedro
• 2 Poliedros Regulares
• 3 Caracter�sticas dos poliedros convexos
• 4 Rela��es de Euler em poliedros regulares
• 5 Raios de c�rculos e �ngulo diedral de poliedros regulares
• 6 �reas e Volumes de Poliedros regulares

1 Poliedro

Poliedro � um s�lido limitado externamente por planos no espa�o \(R^3\). As regi�es planas que limitam este s�lido s�o as faces do poliedro. As interse��es das faces s�o as arestas do poliedro. As interse��es das arestas s�o os v�rtices do poliedro. Cada face � uma regi�o poligonal contendo \(n\) lados.

Poliedros convexos s�o aqueles cujos �ngulos diedrais formados por planos adjacentes t�m medidas menores do que 180 graus. Outra defini��o: Dados quaisquer dois pontos de um poliedro convexo, o segmento que tem esses pontos como extremidades, dever� estar inteiramente contido no poliedro.

2 Poliedros Regulares

Um poliedro � regular se todas as suas faces s�o regi�es poligonais regulares com \(n\) lados, o que significa que o mesmo n�mero de arestas se encontram em cada v�rtice.

3 Caracter�sticas dos poliedros convexos

Nota��es para poliedros convexos:

1. \(V\) � o n�mero de v�rtices
2. \(F\) � o n�mero de faces
3. \(A\) � o n�mero de arestas
4. \(n\) � o n�mero de lados da regi�o poligonal regular (de cada face)
5. \(a\) � a medida da aresta A, e
6. \(m\) � o n�mero de �ngulos entre as arestas do poliedro convexo.

Rela��es matem�ticas para elementos de um poliedro convexo

1. Rela��o de Euler:

   \[V+F = A+2\]

2. N�mero \(m\) de �ngulos diedrais:

   \[m = 2 A\]

3. �ngulo diedral:

   \[d = 2\operatorname{arcsen} \left[ \cos\big(\frac{\pi V}{m}\big)\csc\big(\frac{\pi}{n}\big)\right]\]

4. Raio do c�rculo inscrito:

   \[r = \frac{a}{2} \cot\big(\frac{\pi}{n}\big)\text{tan}\big(\frac{d}{2}\big)\]

5. Raio do c�rculo circunscrito:

   \[R= \frac{a}{2} \text{tan}\big(\frac{\pi V}{m}\big)\text{tan}\big(\frac{d}{2}\big)\]

6. �rea da superf�cie externa:

   \[A = \frac{mF}{4V} a^2 \text{tan}\big(\frac{d}{2}\big)\]

7. Volume do s�lido poli�drico:

   \[V = \frac{mF}{24V} a^3 \cot^2\big(\frac{\pi V}{m}\big)\text{tan}\big(\frac{d}{2}\big)\]

4 Rela��es de Euler em poliedros regulares

As duas rela��es de Euler relacionam o n�mero \(F\) de faces, o n�mero \(V\) de v�rtices, o n�mero \(A\) de arestas e o n�mero \(m\) de �ngulos entre as arestas.

\[F + V = A + 2, \qquad m = 2A\]

Na tabela seguinte, mostramos o cumprimento de tais rela��es para os cinco (5) poliedros regulares convexos.

5 Raios de c�rculos e �ngulo diedral de poliedros regulares

Nota��o: \(RCI\) � o raio do c�rculo inscrito, \(RCC\) � o raio do c�rculo circunscrito e \(AD\) � o �ngulo diedral (d).

\[\begin{array}{lccc} \hline \text{Poliedro} & RCI & RCC & AD \\ \hline \text{Tetraedro} & a\frac{\sqrt{6}}{12} & a\frac{\sqrt{6}}{4} & 70^0 31' 44'' \\ \text{Hexaedro} & a\frac{1}{2} & a\frac{\sqrt{3}}{2} & 90^0 00' 00'' \\ \text{Octaedro} & a\frac{\sqrt{6}}{6} & a\frac{\sqrt{2}}{2} & 109^0 28' 16'' \\ \text{Dodecaedro} & a\frac{\sqrt{50+22\sqrt{5}}}{100}& a\frac{\sqrt{3}+\sqrt{15}}{4} & 116^0 33' 54'' \\ \text{Icosaedro} & a\frac{\sqrt{7+\sqrt{45}/6}}{2} & a\frac{\sqrt{10+\sqrt{20}}}{4} & 138^0 11' 23'' \\ \hline \end{array}\]

6 �reas e Volumes de Poliedros regulares

\[\begin{array}{lcc} \hline \text{Poliedro} & \text{�rea} & \text{Volume} \\ \hline \text{Tetraedro} & 1a^2 \sqrt{3} & \frac{1}{12} a^3 \sqrt{2} \\ \text{Hexaedro} & 6a^2 & a^3 \\ \text{Octaedro} & 2a^2 \sqrt{3} & \frac13 a^3 \sqrt{2} \\ \text{Dodecaedro} & 3a^2 \sqrt{25+10\sqrt{5}} & \frac14 a^3 (15+7\sqrt{5}) \\ \text{Icosaedro} & 5a^2 \sqrt{3} & \frac{5}{12}a^3 (3+\sqrt{5}) \\ \hline \end{array}\]

Quando estudamos os poliedros, nos deparamos com os sólidos de Platão como caso particular. Para ser um sólido de Platão, o poliedro precisa satisfazer três condições:

• ser convexo;

• todas as faces possuírem a mesma quantidade de arestas;

• todos os vértices serem extremidades de uma mesma quantidade de arestas.

Vários filósofos buscaram compreender a origem do Universo, e Platão viu na geometria espacial a explicação para essa origem. Os sólidos de Platão são:

• tetraedro;

• hexaedro;

• octaedro;

• dodecaedro;

• icosaedro.

Todos eles são considerados polígonos regulares, já que as suas arestas e suas faces são todas congruentes. Os sólidos de Platão respeitam a relação de Euler, que relaciona o número de vértices, faces e arestas pela fórmula V + F = A + 2.

Leia também: Quais as diferenças entre as figuras planas e as espaciais?

Tópicos deste artigo

• 1 - Poliedros regulares
• 2 - Quais são os sólidos de Platão?
  • Tetraedro regular
  • Cubo ou hexaedro regular
  • Octaedro
  • Icosaedro
  • Dodecaedro
• 3 - Fórmula de Euler
• 4 - Exercícios resolvidos

Poliedros regulares

A busca por poliedros regulares é recorrente, pois é mais fácil trabalhar com eles. Um poliedro é classificado como regular se ele possui todas as faces formadas por um mesmo polígono congruente. Quando isso ocorre, os ângulos e arestas também são congruentes.

Os sólidos de Platão são casos particulares de poliedros regulares. O cubo, por exemplo, que é um sólido de Platão, possui todas as suas faces formadas por quadrados congruentes. Dos cinco sólidos de Platão, três são formados por faces triangulares com triângulos congruentes, um é formado por faces quadradas e o outro é formado por faces pentagonais.

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Quais são os sólidos de Platão?

Platão foi um filósofo e matemático grego. Ele realizou grandes contribuições para a matemática e, na tentativa de compreender o Universo, associou os sólidos a elementos da natureza.

Para ser um sólido platônico, o poliedro precisa ser regular e convexo. Existem apenas cinco sólidos que satisfazem essa definição. São eles: o tetraedro, o cubo ou hexaedro, o octaedro, o icosaedro e o dodecaedro.

A relação feita entre o elemento da natureza e o sólido foi:

• tetraedro – fogo

• hexaedro – terra

• octaedro – ar

• icosaedro – água

• dodecaedro – Cosmo ou Universo

Para ser um sólido de Platão, o poliedro também precisa ser convexo, todas as faces devem apresentar a mesma quantidade de arestas e todos os vértices devem ser extremidades de uma mesma quantidade de arestas.

Veja também: Paralelepípedos – sólidos geométricos formados por faces planas e poligonais

• Tetraedro regular

O tetraedro regular é um poliedro que possui 4 faces, o que justifica o seu nome (tetra = quatro). Todas as suas faces são formadas por triângulos. Ele possui formato de uma pirâmide de base triangular e é conhecido como pirâmide de base regular, já que todas as suas faces são congruentes. Possui um total de 4 faces (em formato de triângulo equilátero), 4 vértices e 6 arestas.

Caso você queira montar seu próprio tetraedro regular, é só baixar e imprimir o PDF aqui.

• Cubo ou hexaedro regular

O hexaedro regular possui 6 faces, o que justifica o seu nome (hexa = seis). As suas faces são todas quadradas. Ele é conhecido também como cubo e possui 6 faces, 12 arestas e 8 vértices.

Caso você queira montar seu próprio cubo, é só baixar e imprimir o PDF aqui.

• Octaedro

Assim como os anteriores, o nome está ligado ao número de faces, logo o octaedro possui 8 faces. Essas faces possuem formato de triângulo equilátero. O octaedro possui 8 faces, 12 arestas e 6 vértices.

Caso você queira montar seu próprio octaedro, é só baixar e imprimir o PDF aqui.

• Icosaedro

O icosaedro possui um total de 20 faces. As suas faces possuem formato de triângulos equiláteros, assim como o octaedro. Ele possui um total de 20 faces, 30 arestas e 12 vértices.

Caso você queira montar seu próprio icosaedro, é só baixar e imprimir o PDF aqui.

• Dodecaedro

O dodecaedro é o último dos sólidos de Platão. Possui um total de 12 faces e é considerado o mais harmônico entre os cinco sólidos platônicos. Suas faces possuem formato de pentágonos. Apresenta 12 faces, 30 arestas e 20 vértices.

Caso você queira montar seu próprio dodecaedro, é só baixar e imprimir o PDF aqui.

Acesse também: Cilindro – sólido geométrico formado por duas faces circulares paralelas e em planos distintos

Fórmula de Euler

Os poliedros eulerianos são os poliedros convexos. Euler desenvolveu uma fórmula que relaciona o número de faces (F), número de vértices (V) e o número de arestas (A) em um poliedro convexo. Todos os sólidos de Platão satisfazem a relação de Euler.

Analisando a fórmula, é possível então calcular o número de vértices a partir do número de faces e de arestas, ou o número de faces, a partir do número de vértices e arestas, enfim, conhecendo dois dos seus elementos, é sempre possível encontrar o terceiro.

• Exemplo:

Sabendo que um poliedro possui 8 vértices e 12 arestas e que ele é regular, qual será o número de faces que ele possui?

Sabemos que V + F = A+2

V = 8

A = 12

8 + F = 12 + 2

8 + F = 14

F = 14 – 8

F = 6

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (Enem 2016) Os sólidos de Platão são poliedros convexos cujas faces são todas congruentes a um único polígono regular, todos os vértices têm o mesmo número de arestas incidentes e cada aresta é compartilhada por apenas duas faces. Eles são importantes, por exemplo, na classificação das formas dos cristais minerais e no desenvolvimento de diversos objetos. Como todo poliedro convexo, os sólidos de Platão respeitam a relação de Euler V - A + F = 2, em que V, A e F são os números de vértices, arestas e faces do poliedro, respectivamente.

Em um cristal, cuja forma é a de um poliedro de Platão de faces triangulares, qual é a relação entre o número de vértices e o número de faces?

A) 2V – 4F = 4

B) 2V – 2F = 4

C) 2V – F = 4

D) 2V + F = 4

E) 2V + 5F= 4

Resolução

Alternativa C. Como as faces são triangulares, sabemos que, para cada face, há 3 arestas. Porém, para relacionar o número de arestas com o número de faces, é importante lembrar que cada aresta está contida em duas faces, pois o encontro de duas faces forma uma aresta, então podemos relacionar aresta com face nesse caso por:

Tendo a relação de Euler como V – A + F = 2 e substituindo A, temos que:

Questão 2 – Das alternativas abaixo, julgue qual delas não é um sólido de Platão.

A) Cubo

B) Tetraedro Regular

C) Icosaedro

D) Dodecaedro

E) Cone

Resolução:

Alternativa E. Das alternativas, a única que não corresponde a um sólido de Platão é o cone.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Qual o número de vértices de um poliedro convexo formado por 20 triângulos Equiláteros?

Quantos vértices tem um poliedro convexo de 20 faces triangulares?

Quantas arestas é quantos vértices possui um poliedro convexo que apresenta 20 faces todas com formato de triângulos *?

Quantos vértices tem um poliedro convexo?