Qual é a fórmula para calcular o número de diagonais de um polígono?

Dado um polígono convexo qualquer, diagonal é o segmento que une dois vértices não consecutivos (ou adjacentes).

Exemplos:

Um triângulo não possui diagonais, pois, como só possui três vértices, não é possível unir dois vértices não consecutivos.

Cálculo do número de diagonais

Vamos aprender a calcular o número de diagonais de um polígono convexo qualquer.

Basta observar os exemplos:

Na figura 1, temos 5 vértices no total. Do vértice A, podemos traçar diagonais para os vértices C e D, que não são adjacentes a ele. Do vértice B, podemos traçar diagonais para os vértices D e E, seus não adjacentes. Assim, de cada vértice, é possível traçar 2 diagonais, pois são 5 vértices, menos 2 adjacentes e o próprio vértice considerado.

Se pensássemos em 2 diagonais por vértice, teríamos 2 x 5 = 10 diagonais. No entanto, podemos observar só 5. Isso ocorre porque as diagonais AD e DA são a mesma diagonal.

Na figura 2, ocorre a mesma coisa: temos 4 vértices e, descontando, para cada vértice, os dois vértices adjacentes e o próprio vértice considerado, teremos 1 diagonal por vértice e 4 x 1 = 4 diagonais ao todo. No entanto, só temos 2, pelo mesmo motivo da figura 1.

Na figura 3, são 6 vértices ao todo. Se descontarmos, para cada vértice, 3 vértices para onde não podemos traçar diagonais, teremos 3 diagonais por vértice e 6 x 3 = 18 diagonais ao todo. No entanto, só podemos observar 9.

Na figura 4, são 7 vértices ao todo. Se descontarmos, para cada vértice, 3 vértices para onde não podemos traçar diagonais, teremos 4 diagonais por vértice e 7 x 4 = 28 diagonais ao todo. No entanto, só podemos observar 14.

A partir desses exemplos, podemos observar a regularidade e generalizar, para qualquer polígono.

Assim, para um polígono convexo qualquer, podemos achar o número de diagonais d a partir do número n de vértices da seguinte forma:

- descontando de n os 3 vértices para onde não podem ser traçadas diagonais (os 2 adjacentes e ele mesmo): n - 3;
- multiplicando o resultado obtido pelo número de vértices: n . (n - 3) ;
- dividindo o resultado obtido por 2, devido às diagonais repetidas:

Assim, a fórmula que calcula o número de diagonais de um polígono convexo qualquer é:

Todo polígono com 4 ou mais lados possuem diagonais e é possível calcular a quantidade de diagonais de um polígono qualquer de $N$ lados utilizando para isso uma simples fórmula matemática, que leva em conta apenas a quantidade de lados que esse polígono possui.

Esta é uma abordagem simples de como determinar quantas diagonais são possíveis traçar num polígono convexo sem ter que propriamente traçá-las, mas apenas sabendo o número de lados do polígono.

Todo polígono com 4 ou mais lados possuem diagonais e é possível calcular a quantidade de diagonais de um polígono qualquer de $N$ lados utilizando para isso uma simples fórmula matemática, que leva em conta apenas a quantidade de lados que esse polígono possui.

Esta é uma abordagem simples de como determinar quantas diagonais são possíveis traçar num polígono convexo sem ter que propriamente traçá-las, mas apenas sabendo o número de lados do polígono.

Tomando um pentágono, temos, por exemplo, que do vértice $A$ partem duas diagonais: $\overline{AC}$ e $\overline{AD}$:

Já para um hexágono, temos, por exemplo, que do vértice $A$ partem três diagonais: $\overline{AC}$, $\overline{AD}$ e $\overline{AE}$:

O que queremos é encontrar uma forma de determinar a quantidade de diagonais sem ter que traçá-las no polígono. Vejam que para um polígono de $4$ lados, temos $1$ diagonal partindo de um vértice; para um polígono de $5$ lados, temos $2$ diagonais partindo de um vértice; para um polígono de $6$ lados temos $3$ diagonais partindo de um vértice. Vejam que o número de diagonais que parte de um vértice é igual à quantidade de lados do polígono menos $3$. E para um polígono de $N$ lados, teremos $N-3$ diagonais partindo de um vértice. Assim, podemos montar uma pequena tabela:

Como o número de vértices é igual ao número de lados do polígono, segue que teremos, com extremidade nos $N$ vértices:

\begin{equation}
N\cdot (N-3) \: \text{diagonais}
\end{equation}

No entanto, como cada diagonal tem extremidades em dois vértices, cada diagonal é contada duas vezes, por exemplo no quadrilátero, temos que as diagonais $\overline{AC}= \overline{CA}$, representam a mesma diagonal. Então, basta dividirmos por dois:

\begin{equation}
d=\frac{N(N-3)}{2}
\end{equation}

Para ilustrarmos esse fato, observamos as imagens abaixo:

Podemos montar uma tabela:

Exemplo 1:

Calcular o número de diagonais de um polígono de $256$ lados.

Fazemos:
\begin{equation*}
d=\frac{N(N-3)}{2}=\frac{256(256-3)}{2}=32.384
\end{equation*}

Portanto, há $32.384$ diagonais num polígono de $256$ lados.

Exemplo 2:

Qual é o polígono cujo número de diagonais é o quíntuplo do  número de lados?

Temos que $d=5N$. Então, fazemos a substituição:

\begin{equation*}
\frac{N(N-3)}{2}=5N\\
\ \\
N^2-3N=10N\\
\ \\
N^2-13N=0\\
\ \\
N(N-13)=0
\end{equation*}

Daqui, concluímos que ou $N=0$ ou $N=13$. Mas, não faz sentido um polígono de $0$ lados, logo tomamos $N=13$ como solução. Assim, o polígono procurado é um tridecágono.

Montemos uma tabela para relembrarmos os nomes dos polígonos:

Exemplo 3:

A diferença entre o número de diagonais de dois polígono é $85$ e o número de lados de um é o triplo de número de lados do outro. Quais são estes polígonos?

Dizemos que $d_1$ é o número de diagonais do polígono de $N_I$ lados e $d_2$ o número de diagonais do polígono de $N_{II}$ lados. Podemos retirar do problema as seguintes informações:

\begin{equation*}
\left\{\begin{matrix}
d_2-d_1=85\\
N_2=3N_1
\end{matrix}\right.
\end{equation*}
Temos que:
\begin{equation*}
d_1=\frac{N_I(N_I-3)}{2}
\end{equation*}
e
\begin{equation*}
 d_2=\frac{N_{II}(N_{II}-3)}{2}
\end{equation*}

Substituindo $d_1$ e $d_2$ na primeira equação do sistema acima, obtemos:

\begin{equation*}
d_2-d_1=85\\
\ \\
\frac{N_{II}(N_{II}-3)}{2}-\frac{N_I(N_I-3)}{2}=85\\
\ \\
\frac{N^2_{II}-3N_{II}}{2}-\frac{N^2_I+3N_I}{2}=85\\
\ \\
N^2_{II}-3N_{II}-N^2_I+3N_I=170
\end{equation*}

Mas $N_{II}=3N_I$, assim:

\begin{equation*}
(3N_I)^2-3(3N_I)-N_I^2+3N_I=170\\
\ \\
9N_I^2-9N_I-N_I^2+3N_I=170\\
\ \\
8N_I^2-6N_I-170=0\\
\ \\
4N_I^2-3N_I-85=0\\
\ \\
N_I=\frac{3\pm \sqrt{9+1360}}{8}\\
\ \\
N_I=\frac{3\pm 37}{8}\\
\ \\
N_{I_1}=5\\
\ \\
N_{I_2}=-34/8
\end{equation*}

A raiz negativa não nos interessa e o que procuramos é a raiz positiva $5$. Assim, fazemos:

\begin{equation*}
N_{II}=3N_I \\
\ \\
3\cdot 5=15
\end{equation*}

Desta forma, os polígonos procurados são o pentágono e o pentadecágono.

Links para este artigo:

• http://bit.ly/DiagonaisPoligono
• https://www.obaricentrodamente.com/2014/04/como-determinar-o-numero-de-diagonais.html

Referências:

• Fundamentos da Matemática - Ismael Reis - 7ª - Ed. Moderna

Veja mais:

• Soma dos Ângulos Internos e Externos de um Polígono Convexo
• O Ângulo Interno de um Polígono Regular
• Teorema do Ângulo Inscrito

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