Os cálculos envolvendo probabilidades estão presentes nas situações ligadas à genética, abrangendo diversos estudos relacionados às leis de Mendel. Vamos utilizar as noções de probabilidade na determinação do sexo dos filhos de um casal. Suponhamos que um casal deseja ter dois filhos e quer saber qual a probabilidade de ocorrer os seguintes pares:
Dois meninos;
Duas meninas;
Um menino e uma menina.
Para determinarmos a probabilidade do sexo dos filhos,
precisamos saber as seguintes condições:
O sexo do segundo filho independe do sexo do primeiro, e assim sucessivamente.
As chances de ter um menino são iguais às chances de ter uma menina, isto é, 50%. Portanto, temos:
Menino = 1/2 = 50%
Menina = 1/2 = 50%
Com base nesses dados, vamos determinar as chances de ocorrer os pares fornecidos anteriormente. Para tal situação, utilizamos um desenvolvimento binomial dado por
(x + y)n, onde n equivale ao número
de filhos que o casal deseja ter. Nesse binômio, x representará menino e y, menina. Observe o desenvolvimento da expressão:
(x + y)2 → (x + y) * (x + y) → x² + xy + xy + y² → x² + 2xy + y²
x (menino) = 1/2
y (menina) = 1/2
Dois meninos → x² → (1/2)² → 1/4 → 25%
Duas meninas → y² → (1/2)² → 1/4 → 25%
Um menino e uma menina → 2xy → 2 * 1/2 * 1/2 → 2/4 → 1/2 → 50%
Supondo que um casal deseja ter três filhos, determine as possibilidades e probabilidades dos filhos desejados pelo casal.
(x + y)3 → (x + y) * (x + y) * (x + y) → x³ + 3x²y + 3xy² + y³
Três meninos → x³ → (1/2)³ → 1/8 → 12,5%
Dois meninos e uma menina → 3x²y → 3 * (1/2)² * 1/2 → 3 * 1/4 * 1/2 → 3/8 → 37,5%
Duas meninas e um menino → 3xy² → 3 * 1/2 * (1/2)² → 3 * 1/2 * 1/4 → 3/8 → 37,5%
Três meninas → y³ → (1/2)³ → 1/8 → 12,5%
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O método binomial é muito utilizado em situações nas quais ocorre o produto de probabilidades.
Vamos analisar um casal que deseja ter 4 filhos, e calcular a probabilidade de nascerem todos do mesmo sexo. Observe:
As possibilidades de se ter um menino ou uma menina são iguais, portanto:
p(M) = 1/2
p(F) = 1/2
1ª possibilidade – Todos os filhos meninos
(1/2)* (1/2)* (1/2)* (1/2) = 1/16
2ª possibilidade – Todos os filhos meninas
(1/2)* (1/2)* (1/2)* (1/2) = 1/16
Portanto, as possibilidades são iguais a 1/16 ou 6,25%.
Exemplo 1
Um casal deseja ter dois filhos e quer saber quais as possíveis possibilidades de nascer: (M,M), (MF), (FM), (FF). Considerando M para menino e F para menina.
Obs.: p(M) = p e p(F) = q
Possibilidade – dois Meninos
p(MM) = p(M) * p(M) = p * p = p² = (1/2)² = 1/4 = 25%
Possibilidade – um menino e uma menina
p(MF) = p(M) * p(F) = p * q = 1/2 * 1/2 = 1/4 = 25%
Possibilidade – uma menina e um menino
p(FM) = p(F) * p(M) = q * p = 1/2 * 1/2 = 1/4 = 25%
Possibilidade – duas meninas
p(FF) = p(F) * p(F) = q * q = 1/2 * 1/2 = 1/4 = 25%
Não considerando a ordem dos nascimentos, podemos representar da seguinte forma:
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Exemplo 2
Vamos considerar o nascimento de três crianças, aproveitando a lógica do exemplo 1.
Resultados possíveis
{MMM, MMF, MFM, FMM, MFF, FMF, FFM, FFF}
Considerando a ordem dos nascimentos temos:
p(MMM) = p(M) * p(M) * p(M) = p * p * p = p³
p(MMF) = p * p * q = p² * q
p(MFM) = p * q * p = p²q
p(FMM) = q * p * p = p²q
p(MFF) = p * q * q = pq²
p(FMF) = q * p * q = q²p
p(FFM) = q * q * p = pq²
p(FFF) = q * q * q = q³
Caso não consideremos a ordem dos nascimentos, as possibilidades se reduzem a:
MMM, MMF, MFF e FFF, as probabilidades serão as seguintes:
p(MMM) = p³ = (1/2)³ = 1/8 = 12,5%
p(MMF) = 3p²q = 3 * (1/2)² * 1/2 = 3/8 = 37,5%
p(MFF) = 3pq² = 3 * 1/2 * (1/2)² = 3/8 = 37,5%
p(FFF) = q³ = (1/2)³ = 1/8 = 12,5%
Por Marcos Noé
Graduado em Matemática
Equipe Brasil Escola
Probabilidade - Matemática - Brasil Escola
Gostaria de fazer a referência deste texto em um trabalho escolar ou acadêmico? Veja:
SILVA, Marcos Noé Pedro da. "Método Binomial "; Brasil Escola. Disponível em: //brasilescola.uol.com.br/matematica/metodo-binomial.htm. Acesso em 17 de dezembro de 2022.