Qual a probabilidade de sair soma igual a 9 no lançamento de dois dados?

Todo experimento aleatório - os fenômenos casuais onde as experiências são repetidas inúmeras vezes sob condições iguais, mas não apresentam os mesmos resultados - constitui o conjunto formado por todos os resultados possíveis. Esse conjunto é denominado de espaço amostral, e qualquer subconjunto dele é chamado de evento. Portanto, temos que o espaço amostral constitui todos os resultados possíveis e o evento, os casos favoráveis. Vamos abordar alguns exemplos que exploram de forma geral essas definições.

Exemplo 1

No lançamento simultâneo de dois dados, um branco e um preto, há um espaço amostral gerado. Vamos determinar todos os possíveis resultados deste lançamento.

(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

O resultado possível no lançamento simultâneo de dois dados resulta em 36.

Com base nesse espaço amostral, podemos determinar qualquer evento pertencente ao conjunto dos possíveis resultados.

Evento A – faces iguais
A = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}

Evento B – soma maior que 10
B = {(5,6), (6,5), (6,6)}

Evento C – sair soma 6
C = {(1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3)}

Evento D – soma 7
D = {(1,6), (6,1), (2,5), (5,2), (3,4), (4,3)}

Evento E – soma menor que 5
E = {(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,2)}

Exemplo 2

Uma urna contém uma bola verde e três brancas. Defina o espaço amostral do experimento “retirar uma bola ao acaso” e os eventos: retirar bola verde e retirar bola branca.

Possíveis resultados (espaço amostral): {verde, branca 1, branca 2, branca 3}, constituído de 4 elementos.

Evento retirar bola verde: {verde}, possui 1 elemento.

Evento retirar bola branca: {branca 1, branca 2, branca 3}, possui 3 elementos.

Exemplo 3

Numa caixa existem fichas numeradas de 1 a 10. Defina o espaço amostral do experimento “retirar fichas ao acaso” e defina os eventos: ocorrência de número ímpar, ocorrência de número primo e ocorrência de número maior que 4.

Possíveis resultados (espaço amostral): {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Evento ocorrência de número ímpar: {1, 3, 5, 7, 9}

Evento ocorrência de número primo: {2, 3, 5, 7}

Evento ocorrência de número maior que 4: {5, 6, 7, 8, 9, 10}

A probabilidade da união de dois eventos é a probabilidade de um primeiro ou de um segundo evento ocorrer. No âmbito da probabilidade, estudamos a chance de determinados eventos ocorrerem, e em alguns casos é necessário calcular a probabilidade da união de dois eventos. Por exemplo, a probabilidade de um número sorteado ser ímpar ou primo.

Dados dois eventos, A e B, em um mesmo espaço amostral, para calcular a probabilidade da união de dois eventos, utilizamos a fórmula:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Portanto, a probabilidade da união de dois eventos é igual à soma da probabilidade de cada um desses eventos ocorrerem menos a intersecção entre esses os dois. Quando os eventos são mutuamente excludentes, ou seja, a intersecção entre eles é vazia, então a probabilidade da união é a soma das probabilidades de ocorrência de cada um deles.

Leia também: Os três erros mais cometidos no cálculo de probabilidade

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo da probabilidade da união de dois eventos
• 2 - Qual a fórmula da probabilidade da união de dois eventos?
• 3 - Como calcular a probabilidade da união de dois eventos?
• 4 - Videoaula: Como resolver questões de probabilidade no Enem?
• 5 - Exercícios resolvidos sobre probabilidade da união de dois eventos

Resumo da probabilidade da união de dois eventos

• A probabilidade da união de dois eventos A e B em um mesmo espaço amostral é calculada por: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

• A probabilidade da união de dois eventos é a chance do primeiro ou do segundo evento ocorrer.

• Quando os eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade da união é calculada por: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

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Qual a fórmula da probabilidade da união de dois eventos?

Dados dois eventos, A e B, todos em um mesmo espaço amostral Ω (lê-se: ômega), então a probabilidade da união desses eventos, ou seja, P(A ∪ B), é calculada por:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

A fórmula diz que a probabilidade da união entre os eventos A e B é igual à probabilidade do evento A ocorrer, mais a probabilidade do evento B ocorrer, menos a probabilidade da intersecção entre os eventos A e B.

Existem casos em que os eventos são mutuamente exclusivos, ou seja, possuem intersecção vazia. Nesses casos, consequentemente, a probabilidade da intersecção será igual a zero, ou seja, P(A ∩ B) = 0. Portanto, quando os eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade da união desses eventos é calculada por:

Leia também: Probabilidade condicional — veja como calculá-la

Como calcular a probabilidade da união de dois eventos?

Para calcular a probabilidade da união de dois conjuntos, é necessário encontrar os dados para calcular cada uma das probabilidades. São eles:

• n(A) → número de elementos correspondentes ao evento A;

• n(B) → número de elementos correspondentes ao evento B;

• n(Ω) → número de elementos no espaço amostral;

• n(A ∩ B) → número de elementos na intersecção entre os eventos A e B.

Munidos desses dados, basta substituirmos na fórmula da probabilidade da união de dois eventos cada uma das probabilidades.

Exemplo 1

Em uma sala de aula, há 25 alunos, sendo que 15 deles são meninas e 10, meninos. Durante as aulas de matemática, o professor resolveu fazer um sorteio entre os alunos que se saíram melhor no teste. Sabendo que nessa sala há 8 alunos que usam óculos e que 3 deles são meninas, calcule a probabilidade de o sorteado ser uma menina ou alguém que usa óculos.

Resolução:

Inicialmente, vamos definir os eventos:

• A → o sorteado é uma menina.

• B → o sorteado usa óculos.

Sabemos que:

• n(A) é igual ao número de meninas.

  • n(A) = 15

• n(B) é igual ao número de alunos que usam óculos.

  • n(B) = 8

• n(Ω) → número de alunos.

  • n(Ω) = 25

• n(A ∩ B) → número de meninas que usam óculos.

  • n(A ∩ B) = 3

Então, temos que:

Exemplo 2:

Uma moeda foi lançada três vezes consecutivas. Qual é a probabilidade de se obter, exatamente, duas caras ou duas coroas?

Resolução:

Ao se lançar a moeda três vezes consecutivas, teremos os seguintes resultados possíveis:

Ω = {(cara, cara, cara); (cara, cara, coroa); (cara, coroa, cara); (coroa, cara, cara); (coroa, coroa, coroa); (coroa, coroa, cara); (coroa, cara, coroa); (cara, coroa, coroa)}

Logo, n (Ω) = 8.

• Evento A → Se obter exatamente duas caras.

A = {(cara, cara, coroa); (cara, coroa, cara); (coroa, cara, cara)}

n(A) = 3

• Evento B → Se obter exatamente duas coroas.

B = {(coroa, coroa, cara); (coroa, cara, coroa); (cara, coroa, coroa)}

n(B) = 3

Analisando os conjuntos A e B, é possível perceber que não há nenhum elemento em comum aos dois conjuntos. Logo, esses conjuntos são mutuamente excludentes. Desse modo, n(A ∩ B) = 0. Por fim, temos que:

Videoaula: Como resolver questões de probabilidade no Enem?

Exercícios resolvidos sobre probabilidade da união de dois eventos

Questão 1

(Fepese) Sejam dois eventos, A e B, mutuamente exclusivos. A probabilidade de ocorrência de A vale 0,2. A probabilidade de ocorrência de B vale 0,4.

Quanto vale a probabilidade de ocorrência do evento A união B?

A) 0,08

B) 0,4

C) 0,48

D) 0,52

E) 0,6

Resolução:

Alternativa E

Sabemos que:

• P(A) = 0,2

• P(B) = 0,4

Como os eventos são mutuamente exclusivos, P(A ∩ B) = 0.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

P(A ∪ B) = 0,2 + 0,4

P(A ∪ B) = 0,6

Questão 2

Dois dados são lançados simultaneamente, e o resultado é a soma das faces superiores. A probabilidade do resultado do lançamento ser maior que 9 ou um número primo é de:

A) 0,50

B) 0,58

C) 0,61

D) 0,65

Alternativa C

Primeiramente, vamos construir o espaço amostral por meio de uma tabela:

Note que há 36 resultados distintos na tabela. Logo, n(Ω) = 36.

Agora, vamos definir os eventos:

• A → ser maior que 9

Analisando a tabela, há 6 resultados maiores que 9, então temos que n(A) = 9.

• B → ser um número primo

Analisando a tabela, os números primos são 2, 3, 5, 7 e 11. Calculando a quantidade de vezes em que cada um aparece, temos que n(B) = 15.

Analisando a intersecção, sabemos que 11 está sendo contado nos dois conjuntos, pois ele é um número primo e, também, maior que 9. Há duas maneiras diferentes de se chegar a 11 como resultado. Dessa forma, temos que:

n(A ∩ B) = 2

Então, calculando a probabilidade:

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Qual a probabilidade de sair a soma 9 no lançamento de dois dados?

Qual e a probabilidade de que a soma de dois dados lançados tenha resultado igual a 8?

Qual a probabilidade de sair a soma 7 no lançamento de dois dados?

Qual a probabilidade da soma de dois dados ser 10?