O que é um evento aleatório na área de probabilidade?

Saiba como vai funcionar o vestibular do Mackenzie

Probabilidade é um assunto que cai com frequência nas provas do Exame Nacional do Ensino Médio (Enem), em vestibulares e até concursos. Apesar de essa área da matemática estar presente em nosso cotidiano, a forma como ela é explicada pode causar um nó na cabeça. Para desmistificá-la, é necessário compreender alguns conceitos básicos para, por exemplo, calcular a probabilidade de uma moeda cair em cara ou coroa.

Um breve histórico da probabilidade

Os primeiros estudos sobre probabilidade tiveram início na Idade Média. Os nomes mais famosos da época, Pierre de Fermat e Blaise Pascal, solucionaram um célebre problema de divisão das apostas e posteriormente estabeleceram as teorias do cálculo das probabilidades e da análise combinatória, que estão interligados.

Conceitos básicos de probabilidade

Em poucas palavras, a probabilidade é a área da matemática que estuda os experimentos aleatórios. Por meio dela, podemos compreender as chances para que determinado evento aconteça.

O cálculo da probabilidade é realizado com a seguinte fórmula:

P(E)=n(E)/n(Ω)

Sendo:

n=quantidade

E=evento

Ω=espaço amostral

P=probabilidade

Antes de inserirmos números reais na fórmula, veja alguns conceitos básicos.

Experimento aleatório

Experimentos aleatórios, mesmo repetidos em condições iguais, podem gerar resultados diferentes. Um bom exemplo é o dado de seis faces, que, quando lançado, pode gerar seis resultados inesperados.

Ponto amostral

Os resultados possíveis de um experimento aleatório são chamados de ponto amostral. Para entender melhor, vamos retornar ao exemplo do dado, que é numerado em 1, 2, 3, 4, 5 ou 6 — cada um desses números é um ponto amostral.

Espaço amostral

O espaço amostral corresponde ao conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório e é formado pelos pontos amostrais. Confira alguns exemplos.

a) O espaço amostral do experimento “lançamento de uma moeda” é representado pelo conjunto S={cara e coroa}.

b) O espaço amostral do experimento “lançamento de um dado” é representado pelo conjunto D={1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Evento

Evento é qualquer subconjunto de um espaço amostral e pode ter nenhum elemento (conjunto vazio) ou todos os elementos de um espaço amostral. Ainda não ficou claro? Veja um exemplo.

Você lança uma moeda e quer que o lado “cara” caia para cima. Com isso, temos os seguintes dados:

Espaço amostral: M={1, 2}

Evento: E={cara}

Perceba que o conjunto E tem apenas um elemento, pois o evento esperado “cara” só pode ocorrer uma vez.

Espaços equiprováveis

Quando os pontos amostrais de um espaço amostral têm a mesma chance de ocorrer, considera-se um espaço equiprovável. Por exemplo, a probabilidade de uma moeda lançada cair com o lado “cara” para cima é de 50%.

Aprenda na prática

Agora vamos utilizar a fórmula P(E) = n(E)/n(Ω) para resolver duas questões.

1) Ao lançar duas moedas, qual é a probabilidade de obter resultados iguais?

Resposta:

Definimos “cara” como C e “coroa” como K; assim, temos os possíveis resultados:

(C, K); (C, C); (K, C); (K, K)

Já o evento “obter resultados iguais” leva às situações:

(C, C); (K, K)

Existem quatro casos possíveis (quantidade de elementos do espaço amostral) e dois casos favoráveis (quantidade de elementos do evento). Logo:

P(E)=n(E)/n(Ω)

P(E)=2/4

P(E)=0,5=50%

2) Em uma sacola com 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas, qual é a probabilidade de sair uma bola verde?

Resposta:

O espaço amostral desse experimento é composto por 12 elementos, portanto a probabilidade de sair uma bola verde está na razão de 5 para 12. Aplicando a fórmula: P(E)=n(E)/n(Ω)

P(E)=5/12

P(E)=0,416=41,6%

Agora que você aprendeu os principais conceitos de probabilidade, arrase nas provas.

Este conteúdo foi útil para você?

18850cookie-checkConceitos básicos de probabilidade para arrasar na prova

A probabilidade é a área da Matemática que estuda a chance de determinados eventos acontecerem. Ela é aplicada em diversas situações, como na meteorologia, que faz uma estimativa, levando em consideração o clima, da probabilidade de chover em um determinado dia.

Outro exemplo são os jogos de carta, como o pôquer, em que o jogador vencedor é o que possui a mão mais rara, ou seja, com menor probabilidade de acontecer. A probabilidade estuda o que chamamos de experimentos aleatórios, os quais, repetidos nas mesmas condições, apresentam resultado imprevisível.

Entre os experimentos aleatórios, a probabilidade busca estimar qual a chance de um determinado evento acontecer, como a chance de se retirar o rei em meio a um baralho, entre outros eventos aplicáveis no dia a dia. Quando esses eventos possuem a mesma chance de acontecer, eles são conhecidos como equiprováveis. Para calcular a probabilidade, utilizamos uma fórmula, que nada mais é do que a razão entre casos possíveis e casos favoráveis.

Leia também: Probabilidade no Enem: como esse tema é cobrado?

O que é a probabilidade?

No mundo em que vivemos, estamos cercados de acontecimentos que podem ser previstos, e a probabilidade acaba buscando soluções para conseguir prever resultados dos chamados experimentos aleatórios, sendo base para tomadas de decisões. As estimativas matemáticas são sempre feitas com base na estatística e na probabilidade, área fundamental para a análise do comportamento desses fenômenos. Com o auxílio da probabilidade, os investidores tomam decisões sobre os seus ganhos e futuros investimentos, por exemplo.

Assim sendo, podemos definir a probabilidade como a área da Matemática que estuda a chance de um determinado evento ocorrer.

Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;)

Experimentos aleatórios

Experimento aleatório é aquele que, mesmo realizado diversas vezes nas mesmas condições, possui um resultado imprevisível. Esse é o caso dos diversos sorteios da Mega-Sena, que são realizados sempre nas mesmas condições. Ainda que a gente conheça todos os resultados dos últimos sorteios, é impossível prever qual será o resultado do próximo; caso contrário, todas as pessoas com um pouco de dedicação conseguiriam acertar os próximos números. Isso acontece porque estamos trabalhando com um experimento aleatório, no qual é impossível prever o resultado.

Outro exemplo bastante comum é o lançamento de um dado comum não viciado. Sabemos que os resultados possíveis no lançamento é qualquer número entre 1 e 6. Ainda que a gente consiga estimar um intervalo de possíveis resultados, esse é um experimento aleatório, já que não é possível saber qual será o resultado do lançamento.

Veja também: Como a análise combinatória é cobrada no Enem?

Espaço amostral

Em um experimento aleatório, não conseguimos prever o resultado com exatidão, porém é possível prever os resultados possíveis. Dado um experimento aleatório, o conjunto formado por todos os resultados possíveis é conhecido como espaço amostral, que também pode ser conhecido como conjunto universo. É sempre um conjunto, normalmente representado pelo símbolo grego Ω (lê-se: ômega).

Em muitos casos, o nosso interesse não é a listagem do espaço amostral, mas sim a quantidade de elementos que ele possui. Por exemplo, ao lançar um dado comum, temos que Ω: {1,2,3,4,5,6}. Para calcular a probabilidade, é essencial conhecer a quantidade de elementos no espaço amostral, ou seja, qual é a quantidade de resultados possíveis para um determinado experimento aleatório. Outro exemplo é o espaço amostral do lançamento de uma moeda por duas vezes consecutivas. Os resultados possíveis são Ω:{(cara,cara); (cara, coroa); (coroa, cara); (coroa, coroa)}

Ponto amostral

Conhecendo o espaço amostral de um determinado experimento aleatório, o ponto amostral é um entre os resultados possíveis desse experimento. Por exemplo, ao lançar o dado comum e observar sua face superior, temos como ponto amostral o número 1, pois ele é um dos resultados possíveis, sendo assim, qualquer um dos resultados possíveis é um ponto amostral.

Evento

Calculamos a probabilidade de eventos acontecerem, então, para compreender a fórmula da probabilidade, o conceito de evento é essencial. Conhecemos como evento qualquer subconjunto do espaço amostral. No lançamento de um dado, por exemplo, podemos encontrar vários eventos, como o subconjunto com os números pares P={2,4,6}.

• Evento certo: um evento é conhecido como certo, quando ele tem 100% de chance de acontecer, ou seja, é um evento que temos certeza de que acontecerá.

Exemplo:

No lançamento de um dado, um evento certo, por exemplo, é ter um resultado menor ou igual a 6. Então, o conjunto de resultados possíveis para o evento é {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Note que o conjunto do evento coincide com o espaço amostral. Quando isso ocorre, o evento é tido como certo.

• Evento impossível: um evento é impossível quando ele possui 0% de chance de acontecer, ou seja, é impossível de acontecer.

Exemplo:

No lançamento de um dado comum, obter um resultado igual a 10 é um evento impossível, já que não existe 10 no dado.

Cálculo da probabilidade

Dado um experimento aleatório, podemos calcular qual é a probabilidade desse evento acontecer, por meio da razão entre o número de elementos do evento e o número de elementos do espaço amostral. 

P(A): probabilidade do evento A.

n(A) → número de elementos no conjunto A (casos favoráveis).

n(Ω) → número de elementos no conjunto (casos possíveis).

Exemplo 1:

No lançamento de um dado comum, qual é a probabilidade de se obter um resultado maior ou igual a 5?

Resolução:

Primeiro vamos encontrar a quantidade de elementos no espaço amostral. No lançamento de um dado comum, há 6 resultados possíveis, ou seja, n(Ω)=6.

Agora vamos analisar o evento. Os casos favoráveis são resultados iguais ou maiores que 5; no caso do dado, é o conjunto A = {5,6}, então temos que n(A) = 2.

Logo, a probabilidade desse evento ocorrer é:

Exemplo 2:

Em uma sala de aula há 30 alunos, e 12 são meninos e os demais são meninas. Sabendo que há na sala 10 alunos que usam óculos e que 4 deles são meninos, se for sorteado ao acaso 1 aluno, qual é a probabilidade de ser uma menina que não usa óculos?

Resolução:

Primeiro vamos identificar todos os casos possíveis, nesse caso n(Ω)=30, ou seja, 30 alunos possíveis.

Agora vamos contar os casos favoráveis do evento. Sabemos que, dos 30 alunos, 12 são meninos, então 18 são meninas. Sabemos que 10 usam óculos e que 4 são meninos, logo há 6 meninas que usam óculos.

Se há 6 meninas que usam óculos entre as 18 meninas, há 12 meninas que não usam óculos, então n(A)=12.

Acesse também: O que é o método binomial?

Exercícios resolvidos

Questão 1 - (Enem 2018 – PPL) Uma senhora acaba de fazer uma ultrassonografia e descobre que está grávida de quadrigêmeos. Qual é a probabilidade de nascerem dois meninos e duas meninas?

A) 1/16
B) 3/16
C) 1/4
D) 3/8
E) 1/2

Resolução

Alternativa D.

Primeiro vamos encontrar o total de resultados possíveis, como há 2 possibilidades para cada filho, então o número de casos possíveis é 24 = 16.

Desses 16 casos, é possível se obter 2 meninos (H) e 2 meninas (M), das seguintes maneiras:

{H,H,M,M}
{M,M,H,H}
{H,M,M,H}
{M,H,H,M}
{H,M,H,M}
{M,H,M,H}

Há 6 possibilidades, então a probabilidade de ser dois meninos e duas meninas é dada pela razão:

6/16. Simplificando, temos que: 6/16 = 3/8.

Questão 2 – (Enem 2011) Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar, por recomendações médicas, para uma das regiões: Rural, Comercial, Residencial Urbano ou Residencial Suburbano. A principal recomendação médica foi com as temperaturas das “ilhas de calor” da região, que deveriam ser inferiores a 31°C. Tais temperaturas são apresentadas no gráfico:

Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a probabilidade de ele escolher uma região que seja adequada às recomendações médicas é:

A) 1/5
B) 1/4
C) 2/5
D) 3/5
E) 3/4

Resolução

Alternativa E.

Na imagem, é possível perceber que há 5 regiões. Como ele vai se mudar do Centro para outra região, ele possui 4 possibilidades. Dessas 4 possibilidades, somente 1 tem temperaturas superiores a 31º, sendo assim, há 3 casos favoráveis de 4 possibilidades. A probabilidade é a razão entre os casos favoráveis e os casos possíveis, ou seja, 3/4 nesse caso.

O que significa um evento aleatório?

Como resolver uma questão de probabilidade com eventos aleatórios?

O que é um evento no experimento aleatório?

O que é um evento em probabilidade?