Problema Show
(Revista EUREKA-15) Quantos números múltiplos de [tex]3[/tex] com quatro algarismos distintos podem ser formados com os algarismos [tex]2, 3, 6, 7 \, [/tex] e [tex] \, 9[/tex]? Solução Primeiramente vamos lembrar do critério de divisibilidade por [tex]3[/tex]:
Agora, considerando um número [tex]n[/tex] de quatro algarismos distintos escolhidos entre [tex]2, 3, 6, 7 \, [/tex] e [tex] \, 9[/tex] observamos que a soma [tex]2+3+6+7+9=27[/tex] é um múltiplo de [tex]3[/tex]. Assim, como precisamos eliminar um dos cinco algarismos em questão e a soma deve continuar sendo múltiplo de [tex]3[/tex], só podemos retirar [tex]3[/tex], [tex]6[/tex] ou [tex]9[/tex], totalizando três casos possíveis. Caso (I): Retirando o algarismo [tex]3[/tex]. Caso (II): Retirando o algarismo [tex]6[/tex]. Caso (III): Retirando o algarismo [tex]9[/tex]. Conclusão: podemos formar [tex]24 + 24 + 24 = \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$72$} \, [/tex] números de quatro algarismos distintos múltiplos de três com [tex]2, 3, 6, 7 \, [/tex] e [tex] \, 9[/tex]. Solução elaborada pelos Moderadores do Blog. Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/problemao-multiplos-de-tres/ a) Na palavra UFPEL, que possui 5 letras, temos duas vogais (U,E). Segundo o exercício, deveremos ter estas vogais sempre juntas, restando 3 letras para combinarmos com estas vogais. Com isso, se permutarmos estas 3 consoantes (F,P,L), teremos; P3 = 3! = 3.2.1 =6 Como são duas vogais, teremos duas maneiras de permutá-las entre si (UE ou EU), entretanto devemos verificar as possíveis posições destas vogais na palavra. _____ _____ _____ _____ _____ Como as vogais têm que estar juntas, consideraremos uma só letra. Sendo assim, ao invés de termos 5 letras, as vogais se tornarão uma só, com isso, teremos 4 letras. _____ _____ _____ _____, sendo que as vogais poderão ocupar qualquer um desses 4 espaços, ou seja, existem 4 possibilidades para as vogais aparecerem nas combinações. Uma outra forma de analisar essa possibilidade para as vogais, seria descrever os possíveis casos. U _ __E _ _____ _____ _____; Ou seja, 4 possibilidades. Finalizando as contas teremos a seguinte expressão para as possibilidades. Possibilidades = 4.P2 .P3 P3 = Permutação das letras (FPL) ; P2 = Permutação das vogais (U,E) Possibilidades = 4.P2 .P3 = 4.2.3 = 48 PEL ____ ____ Ou seja, há três combinações para as letras PEL nesta palavra. Possibilidades = 3.P2 P2 = Permutação das letras (UF) Possibilidades = 3 .P2 = 3.2 = 6 Voltar a questão Ensino Fundamental, M�dio e Superior no BrasilEnsino M�dio Exercicios de An�lise Combinat�ria Ulysses Sodr� Material desta p�gina
Na p�gina An�lise Combinat�ria, voc� encontra a teoria necess�ria para resolver os exerc�cios aqui propostos, sendo que alguns deles possuem resposta ou alguma ajuda. Nem sempre os exerc�cios aparecem em ordem de dificuldade crescente. 1 Quinze Exerc�cios de permuta��es simples
2 Dez Exerc�cios de permuta��es com repeti��o
3 Dois Exerc�cios de permuta��es circulares
4 Trinta e tr�s Exerc�cios de combina��es simples
5 Dois Exerc�cios de combina��es com repeti��o
6 Doze Exerc�cios de arranjos simples
7 Dezessete Exerc�cios de arranjos com repeti��o
8 Nove Exerc�cios de arranjos condicionais
9 Dezesseis Exerc�cios com o fatorial
10 Tr�s Exerc�cios com a regra do produto
Quantos números de 5 algarismos distintos podemos formar usando os algarismos 1 3 5 7 e 9?Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9. Resposta: P(5)=120.
Quantos números de 3 algarismos podemos formar usando os algarismos 4 6 e 8 sem repetir nenhum deles?Resposta correta: c) 720 maneiras.
Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 3 5 6 7?Resposta. Portanto, há 120 números que podemos formar com os algarismos 3,5,6,7 e 8.
São algarismos?Algarismo: São os símbolos numéricos utilizados para expressar qualquer número. O sistema de numeração decimal possui dez algarismos principais, que são: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Com esses algarismos, é possível escrever qualquer número.
|