Um avião decola percorrendo uma trajetoria retilinea formando com o solo um angulo de 30

1 Matemática Relações Trigonométricas Professor Dudan2 3 Matemática RELAÇ&Otil...

Matemática

Relações Trigonométricas

Professor Dudan

www.acasadoconcurseiro.com.br

Matemática

RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Definição A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o ramo da Matemática que estuda a proporção, fixa, entre os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, para os diversos valores de um dos seus ângulos agudos. Entre estes ângulos, os de 30°, 45° e 60° são denominados ângulos notáveis. As proporções entre os 3 lados dos triângulos retângulos são denominadas de seno, cosseno, tangente e cotangente, dependendo dos lados considerados na proporção.

Principais Relações Trigonométricas → Os estudos iniciais sobre a trigonometria são associados ao grego Hiparco, que relacionou os lados e os ângulos de um triângulo retângulo e possivelmente construiu a primeira tabela de valores trigonométricos, por isso muitos o consideram o pai da trigonometria. Os estudos trigonométricos no triângulo são embasados em três relações fundamentais: seno, cosseno e tangente. •• O seno é uma função trigonométrica. Dado um triângulo retângulo com um de seus ângulos internos igual a θ, define-se sen θ como sendo a razão entre o cateto oposto a θ e a hipotenusa deste triângulo. Dessa mesma forma o cosseno, definido como cos θ, é a razão entre o cateto adjacente a θ e a hipotenusa. Para completar temos a tangente, tg θ, que é a razão entre os catetos oposto e adjacente. •• Assim: sen θ = cos θ = tg θ = DICA:

cateto oposto hipotenusa cateto adjacente hipotenusa cateto oposto

cateto adjacente SOH

CAH

TOA www.acasadoconcurseiro.com.br

3

Visualização no ciclo

Vale lembrar que − 1 ≤ senx ≤ +1 , − 1 ≤ cosx ≤ +1 e − ∞ ≤ tgx ≤ + ∞. NÃO ESQUECER : sen² x + cos² x = 1 , para todo x∊R. Além disso é importante sabermos os valores dos ângulos notáveis.

IMPORTANTE: Use Sempre Tua Cabeça!!!!! Exemplos: 1. Sendo sen x = a) b) c) d) e)

−3 −2 −1 0 1

2m−1 e π < x < 2π o menor valor inteiro de m é: 6

2. Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30° (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1.000 metros, a altura atingida pelo avião é. a) 250 m b) 250 3

4

www.acasadoconcurseiro.com.br

Matemática – Relações Trigonométricas – Prof. Dudan

c) 500 m d) 500 2 e) 500 3 3. Um foguete é lançado sob um ângulo de 45°. Num certo instante a altura dele é de 500 m, logo a distância percorrida por ele, em linha reta, é de: a) 1000 m b) 600 m c) 500 m d) 500 2 m e) 1000 2 m 4. Um avião levanta voo sob um ângulo constante de 20°. Após percorrer 2.000 metros em linha reta, a altura atingida pelo avião, é de aproximadamente. (Utilize: sen 20° = 0,342; cos 20° = 0,94 e tg 20° = 0,364) a) b) c) d) e)

684 m 728 m 1280 m 1880 m 2000m

5. A Jerônimo Coelho e a rua Duque de Caxias, ambas retilíneas, cruzam-se conforme um ângulo de 30°. A sede da Casa do Concurseiro encontra-se na avenida Jerônimo Coelho à 900 m do citado cruzamento. Portanto, em metros, a distância da sede da Casa do Concurseiro à Duque de Caxias é de. a) b) c) d) e)

300 m 450 m. 450 3 m 600 m 900 m

6. Quando o ângulo de elevação do sol é de 65°, a sombra de um edifício mede 18 m. A altura do edifício é de: (sen 65° = 0,9063, cos 65° = 0,4226 e tg 65° = 2,1445) a) b) c) d) e)

7,60 m 16,31 m 24,45 m 38,60 m 45,96 m

www.acasadoconcurseiro.com.br

5

7. Sendo cos x = a)

3

b)

− 3 3

− 3 ex∊ 2

⎡π ⎤ ⎢ ,π ⎥ ; o valor de tg x é: ⎣2 ⎦

c) − 3 d) 3 3 e) 1 42 8. Sendo x um número real, o menor e o maior valor possíveis da expressão são, 5− 2.sen 10x respectivamente,

( )

a) 6 e 14 42 5 14 42 c) − e 25 5 b) − 21 e

d) − 42 e 42 e) − 14 e − 6

Outras Relações Trigonométricas

COTANGENTE, SECANTE E COSSECANTE → As razões trigonométricas vistas anteriormente possuem inversas que são nomeadas cossecante, secante e cotangente. Assim: 1 hipotenusa = •• sec x = cosx cateto adjacente 1 hipotenusa = senx cateto oposto cateto adjacente 1 = •• cotg x = tg x cateto oposto •• cossec x =

Vale lembrar que secante, cossecante e cotangente herdam os sinais de cosseno, seno e tangente respectivamente.

6

www.acasadoconcurseiro.com.br

Matemática – Relações Trigonométricas – Prof. Dudan

→ Ainda devemos lembrar que: sec² x = 1 + tg² x

cosec²x = 1 + cotg²x

1 π 9. Sabendo-se que cotg x = e 0 < x < , pode-se afirmar que o valor de sen x é: 2 2 1 a) 10 b)

2 5

c)

5 5

d)

2 5 5

e)

5 2

10. A expressão (1 + cotg2x).(1 − cos2x) é igual a: a) b) c) d) e)

0 1 cos x sen x cotg x

Gabarito: 1. B 2. C 3. D 4. A 5. B 6. D 7. B 8. A 9. D 10. B

www.acasadoconcurseiro.com.br

7