Problema Show (Fundamentos de Matemática Elementar, Vol 1 – Gelson Iezzi; Carlos Murakami) Os pares ordenados [tex](1,2), (2,6), (3,7), (4,8)[/tex] e [tex](1,9)[/tex] pertencem ao produto cartesiano [tex]A\times B[/tex]. Lembretes (1) Dados os conjuntos [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex] temos que [tex]A\times B=\{(x,y)\;|\; x\in A\;\mbox{e}\;y\in B\}[/tex] Solução A partir das hipóteses, podemos fazer as observações a seguir.
[tex]2[/tex] e [tex]10[/tex]; [tex]4[/tex] e [tex]5[/tex]; [tex]5[/tex] e [tex]4[/tex]; [tex]10[/tex] e [tex]2[/tex]; [tex]20[/tex] e [tex]1[/tex]. Dessa
forma, como "[tex]1, 2, 3[/tex] e [tex]4[/tex] pertencem ao conjunto [tex]A[/tex]" e "[tex]2, 6, 7, 8[/tex] e [tex]9[/tex] pertencem ao conjunto [tex]B[/tex]"; então [tex]A[/tex] tem no mínimo quatro elementos e [tex]B[/tex], cinco. Assim, das possibilidades de cardinalidades para [tex]A[/tex] e [tex]B[/tex], concluímos que o conjunto [tex]A[/tex] possui exatamente quatro elementos e que [tex]B[/tex] possui exatamente cinco elementos, ou seja, [tex]A=\{1,2,3,4\}[/tex] e [tex]B=\{2,6,7,8,9\}[/tex]. Solução elaborada pelos Moderadores do Blog. Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/probleminha-produto-cartesiano/ O produto cartesiano de dois conjuntos é definido, de forma simples, como um conjunto construído pelos pares ordenados envolvendo os elementos dos dois conjuntos acima citados. Ficou confuso, certo? Para entendermos melhor o produto cartesiano, precisamos conhecer os conceitos de par ordenado e diagrama de flechas antes. O par ordenado é um conjunto de dois elementos, onde a ordem interfere na elaboração do conjunto. Exemplificando, o par ordenado (1; 3) é diferente do (3; 1). Podemos representar os pares ordenados de duas formas: no plano cartesiano e no diagrama de flechas.
Representação do par ordenado (4; 6) no plano cartesiano Representação do par ordenado (4; 6) no diagrama de flechas. Veja que o elemento 4 pertence ao conjunto A e o elemento 6 ao conjunto B Vale ressaltar que o diagrama de flechas nos auxilia de forma muito clara na construção do produto cartesiano, como veremos a seguir. DefiniçãoVamos definir formalmente o que é o produto cartesiano. Assim, supondo um conjunto A e um conjunto B, o produto cartesiano destes dois conjuntos é um outro conjunto composto pelos pares ordenados (x; y), sendo que \(x\in A \ e \ y\in B\). Matematicamente, temos: \(A\times B=(x; y)|x\in A \ e \ y\in B\) Exemplo 1) Considerando A={1;3;4} e B={2;3}, determine os produtos cartesianos A x B e A x A. Solução: ilustrando o caso A x B pelo diagrama de flechas: Assim, combinando os elementos, temos que: \(A\times B=\{(1; 2);(3;2);(4;2);(1;3);(3;3);(4;3)\}\) Já para o caso A x A: \(A\times B=\{(1; 1); (1; 3); (1; 4); (3; 1); (3; 3); (3; 4); (4; 1); (4; 3); (4; 4)\}\) PropriedadesAlgumas propriedades do produto cartesiano são interessantes de conhecer, pois podem facilitar a compreensão do conceito. Veja abaixo quais são elas!
Lembre-se que \(\varnothing\) é o conjunto vazio! Exemplo 2) Qual o número de elementos do produto cartesiano entre A={1; 2; 3} e B={1; 2; 3}? Solução: de acordo com a propriedade, temos: \(3\cdot 3=9 \ elementos\) ImportânciaO produto cartesiano, assim como o par ordenado, são conceitos básicos na matemática. São eles que auxiliam e propiciam a elaboração de gráficos dos mais diversos, gráficos estes usados extensivamente em diversas áreas de trabalho, como engenharia, economia, medicina, química e assim por diante. É importante não subestimar conteúdos básicos da matemática pois é em razão deles que os problemas mais complexos podem ser resolvidos! Exercício de fixação Quero Bolsa O produto cartesiano é composto por: A números de um gráfico B elementos de uma tabela C diagrama de flechas D pares ordenados E nenhuma das anteriores O que é uma relação de AxB?Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano A x B é definido como o conjunto de todos os pares ordenados cujo primeiro elemento é pertencente a A e o segundo à B. Se A e B forem conjuntos com um número finito de números, teremos que A x B será um conjunto de pontos.
O que é produto cartesiano exemplos?O produto cartesiano recebe seu nome de René Descartes, cuja formulação da geometria analítica deu origem a este conceito. Por exemplo, se X é conjunto dos 13 elementos do baralho inglês: e Y é o conjunto dos quatro naipes: Y = {♠, ♥, ♦, ♣}
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