1 - Introdu��o
Chama-se seq��ncia ou sucess�o num�rica, a qualquer conjunto ordenado de n�meros reais ou complexos. Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) � uma seq��ncia cujo primeiro termo � 3, o segundo termo � 5, o terceiro termo � 7 e assim sucessivamente.
Uma seq��ncia pode ser finita ou infinita.
O exemplo dado acima � de uma seq��ncia finita.
J� a
seq��ncia P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) � infinita.
Uma seq��ncia num�rica pode ser representada genericamente na forma:
(a1, a2, a3, ... , ak, ... , an, ...) onde a1 � o primeiro termo, a2 � o segundo termo, ... , ak � o k-�simo termo, ... , an � o n-�simo termo. (neste caso, k < n).
Por exemplo, na seq��ncia Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemos dizer que a3 = 18, a5 = 162, etc.
S�o de particular interesse, as seq��ncias cujos termos obedecem a uma lei de forma��o, ou seja � poss�vel escrever uma rela��o matem�tica entre eles.
Assim, na seq��ncia Y acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo � igual ao anterior multiplicado por 3.
A lei de forma��o ou seja a express�o matem�tica que
relaciona entre si os termos da seq��ncia, � denominada termo geral.
Considere por exemplo a seq��ncia S cujo termo geral seja dado por an = 3n + 5, onde n � um n�mero natural n�o nulo.
Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo an (n - �simo termo) correspondente.
Assim por exemplo, para n = 20, teremos
an = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vig�simo termo
dessa seq��ncia (a20) � igual a 65.
Prosseguindo com esse racioc�nio, podemos escrever toda a seq��ncia S que seria:
S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ).
Dado o termo geral de uma seq��ncia, � sempre f�cil determin�-la.
Seja por exemplo a seq��ncia de termo geral an = n2 + 4n + 10, para n inteiro e positivo.
Nestas condi��es, podemos concluir que a seq��ncia poder�
ser escrita como:
(15, 22, 31, 42, 55, 70, ... ).
Por exemplo:
a6 = 70 porque a6 = 62 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70.
2 - Conceito de Progress�o Aritm�tica - PA
Chama-se Progress�o Aritm�tica – PA – � toda seq��ncia num�rica cujos termos a partir do segundo, s�o iguais ao anterior somado com um valor constante denominado raz�o.
Exemplos:
A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) raz�o = 4 (PA crescente)
B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) raz�o = 9 (PA crescente)
C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) raz�o = 0 (PA constante)
D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) raz�o = -10 ( PA decrescente)
3 - Termo Geral de uma PA
Seja a PA gen�rica
(a1, a2, a3, ... , an, ...) de raz�o r.
De acordo com a defini��o podemos escrever:
a2 = a1 + 1.r
a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r
a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r
.....................................................
Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que:
.............. an = a1 + (n – 1) . r
A express�o an = a1 + (n – 1) . r � denominada termo geral da PA.
Nesta f�rmula, temos que an � o termo de ordem n (n-�simo termo) , r � a raz�o e a1 � o primeiro termo da Progress�o Aritm�tica – PA.
Exemplos:
1 - Qual o mil�simo n�mero �mpar positivo?
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a1= 1, a raz�o r = 2 e queremos calcular o mil�simo termo a1000. Nestas condi��es, n = 1000 e poderemos escrever:
a1000 = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999.
Portanto, 1999 � o mil�simo
n�mero �mpar.
2 - Qual o n�mero de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ?
Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n.
Substituindo na f�rmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n - 1). (- 2) ;
logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n ,
de onde vem n = 40.
Portanto, a PA possui 40 termos.
Atrav�s de um tratamento simples e conveniente da f�rmula do termo geral de uma PA, podemos generaliz�-la da seguinte forma:
Sendo aj o termo de ordem j (j-�simo termo) da PA e ak o termo de ordem k ( k-�simo termo) da PA, poderemos escrever a seguinte f�rmula gen�rica:
aj = ak + (j - k).r
Exemplos:
a) Se numa PA o quinto termo � 30 e o vig�simo termo � 60, qual a raz�o?
Temos a5 = 30 e a20 = 60.
Pela f�rmula anterior, poderemos escrever:
a20 = a5 +
(20 - 5) . r e substituindo fica: 60 = 30 + (20 - 5).r ;
60 - 30 = 15r ; logo, r = 2.
b) Numa PA de raz�o 5, o vig�simo termo vale 8. Qual o terceiro termo?
Temos r = 5, a20 = 8.
Logo, o termo procurado ser�: a3 = a20 + (3 – 20).5
a3 = 8 –17.5 = 8 – 85 = - 77.
4 - Propriedades das Progress�es Aritm�ticas
4.1 - Numa PA, cada termo (a partir do segundo) � a m�dia aritm�tica dos termos vizinhos deste.
Exemplo:
PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2
Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo:
Tr�s n�meros est�o em PA, ... , a forma mais
inteligente de resolver o problema � considerar que a PA � do tipo:
(x - r, x, x + r), onde r � a raz�o da PA.
4.2 - Numa PA, a soma dos termos eq�idistantes dos extremos � constante.
Exemplo:
PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r
Estas propriedades facilitam sobremaneira a solu��o de problemas.
5 - Soma dos n primeiros termos de uma PA
Seja a PA ( a1, a2, a3, ..., an-1, an).
A soma dos n primeiros termos Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an , pode ser deduzida facilmente, da aplica��o da segunda propriedade acima.
Temos:
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an
� claro que tamb�m poderemos escrever a igualdade acima como:
Sn = an + an-1 + ... + a3 + a2 + a1
Somando membro a membro estas duas igualdades, vem:
2. Sn = (a1 + an) +
(a2 + an-1) + ... + (an + a1)
Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre par�nteses possuem o mesmo valor ( s�o iguais � soma dos termos extremos a1 + an ) , de onde conclu�mos inevitavelmente que:
2.Sn = (a1 + an).n , onde n � o n�mero de termos da PA.
Da� ent�o, vem finalmente que:
Exemplo:
Calcule a soma dos 200 primeiros n�meros �mpares positivos.
Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... )
Precisamos conhecer o
valor de a200 .
Mas, a200 = a1 + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399
Logo, Sn = [(1 + 399). 200] / 2 = 40.000
Portanto, a soma dos duzentos primeiros n�meros �mpares positivos � igual a 40000.
Exerc�cios resolvidos e propostos:
1 - Qual � o n�mero m�nimo de termos que se deve somar na P.A. :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do
primeiro termo, para que a soma seja negativa?
*a) 9
b) 8
c) 7
d ) 6
e) 5
SOLU��O:
Temos: a1 = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5, ou seja: r = -2/5.
Poderemos escrever ent�o, para o n-�simo termo an:
an = a1 + (n – 1).r = 7/5
+ (n – 1).(-2/5)
an = 7/5 – 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) –2n/5 = 9/5 –2n/5 = (9 – 2n)/5
A soma dos n primeiros termos, pela f�rmula vista anteriormente ser� ent�o:
Sn = (a1 + an). (n/2) = [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2) = [(16 – 2n)/5].(n/2)
Sn = (16n – 2n2) / 10
Ora, n�s
queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem:
(16n – 2n2) / 10 < 0
Como o denominador � positivo, para que a fra��o acima seja negativa, o numerador deve ser negativo. Logo, deveremos ter:
16n – 2n2 < 0
Portanto, n(16 – 2n ) < 0
Ora, como n � o n�mero de termos, ele � um n�mero inteiro e positivo. Portanto, para que o produto acima seja negativo, deveremos
ter:
16 – 2n < 0, de onde vem 16 < 2n ou 2n > 16 ou n > 8.
Como n � um n�mero inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9.
Portanto, a alternativa correta � a letra A.
2 - As medidas dos lados de um tri�ngulo s�o expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e est�o em P.A. , nesta ordem. O per�metro do tri�ngulo vale:
a) 8
b)
12
c) 15
*d) 24
e) 33
SOLU��O:
Ora, se x + 1, 2x , x2 – 5 formam uma P.A. , podemos escrever:
2x – (x + 1) = (x2 – 5) – 2x
2x – x –1 + 5 – x2 + 2x = 0
3x + 4 – x2 = 0
Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica:
x2 – 3x – 4 = 0
Resolvendo a
equa��o do segundo grau acima encontraremos x = 4 ou x = - 1.
Assim, teremos:
x = 4: os termos da P.A . ser�o: x+1, 2x, x2 – 5 ou substituindo o valor de x encontrado: 5, 8, 11, que s�o as medidas dos lados do tri�ngulo. Portanto, o per�metro do tri�ngulo (soma das medidas dos lados) ser� igual a 5+8+11 = 24.
O valor negativo de x n�o serve ao
problema, j� que levaria a valores negativos para os lados do tri�ngulo, o que � uma impossibilidade matem�tica, pois as medidas dos lados de um tri�ngulo s�o necessariamente positivas. Portanto, a alternativa correta � a letra D.
3 - UFBA - Um rel�gio que bate de hora em hora o n�mero de vezes correspondente a cada hora, bater� , de zero �s 12 horas x vezes. Calcule o dobro da ter�a parte de x.
Resp: 60
SOLU��O:
Teremos que:
0 hora o rel�gio bater� 12 vezes. (Voc� n�o acha que bateria 0 vezes, n�o �?).
1 hora o rel�gio bater� 1 vez
2 horas o rel�gio bater� 2 vezes
3 horas o rel�gio bater� 3 vezes
....................................................
....................................................
12 horas o
rel�gio bater� 12 vezes.
Logo, teremos a seguinte seq��ncia:
(12, 1, 2, 3, 4, 5, ... , 12)
A partir do segundo termo da seq��ncia acima, temos uma PA de 12 termos, cujo primeiro termo � igual a 1, a raz�o � 1 e o �ltimo termo � 12.
Portanto, a soma dos termos desta PA
ser�:
S = (1 + 12).(12/2) = 13.6 = 78
A soma procurada ser� igual ao resultado anterior (a PA em vermelho acima) mais as 12 batidas da zero hora. Logo, o n�mero x ser� igual a x = 78 + 12 = 90.
Logo, o dobro da ter�a parte de x ser�: 2. (90/3) = 2.30 = 60,
que � a resposta do problema proposto.
4 - UFBA - Numa progress�o aritm�tica, o primeiro termo � 1 e a soma do n-�simo termo com o n�mero de termos � 2. Calcule a raz�o dessa progress�o.
Resp: r = -1
SOLU��O:
Temos: a1 = 1
e an + n = 2, onde an � o n-�simo termo.
Fazendo n = 2, vem: a2 + 2 = 2, de onde vem imediatamente que a2 = 0.
Da�, r = a2 – a1 = 0 – 1 = -1, que � a resposta procurada.
5 - A soma dos m�ltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos �:
a) 64376
b) 12846
c) 21286
d) 112
*e) 61376
SOLU��O:
N�meros com 3 algarismos: de 100 a 999.
Primeiro m�ltiplo de 8 maior do que 100 = 104 (que � igual a 8x13)
Maior m�ltiplo de 8 menor do que 999 = 992 (que � igual a 8x124)
Temos ent�o a PA: (104, 112, 120, 128, 136, ... , 992).
Da f�rmula do termo geral an =
a1 + (n – 1) . r poderemos escrever:
992 = 104 + (n – 1).8, j� que a raz�o da PA � 8.
Da� vem: n = 112
Aplicando a f�rmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos finalmente:
Sn = S112 = (104 + 992).(112/2) = 61376
A alternativa correta � portanto, a letra E.
6 – Determinar o cent�simo
termo da progress�o aritm�tica na qual a soma do terceiro termo com o s�timo � igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono � igual a 60.
Resp: 965
SOLU��O:
Podemos escrever:
a3 + a7 = 30
a4 + a9 = 60
Usando a
f�rmula do termo geral, poderemos escrever:
a1 + 2r + a1 + 6r = 30 ou 2.a1 + 8r = 30
a1 + 3r + a1 + 8r = 60 ou 2.a1 + 11r = 60
Subtraindo membro a membro as duas express�es em negrito, vem:
3r = 30 , de onde conclu�mos que a raz�o � igual a r = 10.
Substituindo numa das equa��es em negrito acima,
vem:
2.a1 + 8.10 = 30, de onde tiramos a1 = - 25.
Logo, o cent�simo termo ser�:
a100 = a1 + 99r = - 25 + 99.10 = 965
Agora resolva estes:
a) UFBA - Considere a P.A. de raz�o r , dada por (log4 , log12 , log36 , ... ). Sendo
a22 = k,
determine 10k + r : 320.
Resposta: 36
Para revisar logaritmos, clique AQUI.
b) Determine tr�s n�meros em PA tais que a soma deles seja 15 e a soma dos seus quadrados
seja 83.
Resposta: 3, 5 e 7.
Paulo Marques - arquivo revisado em 23/12/2000.