Entre os elementos de um polígono, estão os lados, vértices, ângulos internos e ângulos externos. Quando o polígono é convexo, também podemos pensar nas suas diagonais e criar propriedades como a soma de seus ângulos internos e a soma de seus ângulos externos. Essa última propriedade deve sempre ser igual a 360°, em todo polígono convexo. Isso é resultado da definição dos ângulos externos, aliada a algumas propriedades envolvendo ângulos que serão discutidas mais adiante.
A soma dos ângulos internos varia de polígono a polígono, dependendo de seu número de lados. Assim, desde que convexos, os polígonos:
a) Que possuem três lados têm soma dos ângulos internos igual a 180°;
b) Que possuem quatro lados têm a soma dos ângulos internos igual a 360°;
c) Que possuem n lados têm a soma dos ângulos internos igual a (n – 2)180.
Definição de ângulo externo
Um ângulo externo é a abertura entre o prolongamento de um lado de um polígono e o lado adjacente a ele. Observe, por exemplo, os ângulos externos da figura a seguir:
Os ângulos assinalados com as letras gregas α, β, γ, δ e ε são externos, pois representam justamente a abertura entre um lado do polígono e o prolongamento do lado adjacente a ele.
Propriedades relacionando ângulos externos e ângulos internos
Perceba que sempre existe um ângulo interno que compartilha um lado de um polígono com um ângulo externo. Observe também que esses dois ângulos estão sempre sobre a mesma reta, já que o ângulo externo depende do prolongamento do lado do polígono. Dessa forma, garantimos que a soma de um ângulo interno com o ângulo externo adjacente a ele é igual a 180°. Em outras palavras:
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Um ângulo interno e o ângulo externo adjacente a ele sempre são suplementares.
No pentágono regular acima, temos um ângulo interno e um externo. Como o pentágono é regular, cada um de seus ângulos internos mede 108°. Assim sendo, cada um de seus ângulos externos medirá 72°.
Observe que existem exatos cinco ângulos externos nesse polígono, e que todos medem 72° porque o polígono é regular.
5·72 = 360°
Demonstração
Independentemente de qual seja o polígono convexo e sua quantidade de lados, ou do fato de todos os lados possuírem medidas diferentes, cada ângulo interno (Si), somado ao seu ângulo externo adjacente (Ai), deve ter como resultado 180°:
Si + Ai = 180°
Seja S a soma de todos os ângulos internos e A a soma de todos os ângulos externos, em um polígono de n lados, temos também n ângulos internos e n ângulos externos. Assim:
S + A = 180·n
A soma dos ângulos internos nós já conhecemos, pois ela é obtida pela expressão: S = (n – 2)180. Substituindo S por essa expressão na equação anterior, temos:
S + A = 180n
(n – 2)180 + A = 180n
180n – 360 + A = 180n
Como queremos descobrir a soma dos ângulos externos de um polígono, isolaremos a incógnita A no primeiro membro:
180n – 360 + A = 180n
A = 180n + 360 – 180n
A = 360°
Portanto, fica demonstrado que a soma dos ângulos externos de um polígono convexo é sempre igual a 360°.
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1 01.(EEAR/2008)O número de figuras abaixo que representam polígonos convexos é a)5 b)4 c)3 d)2 Solução: Um polígono é convexo quando as medidas de seus ângulos internos são maiores que 00 e menores do que 1800. Logo, são polígonos convexos as seguintes figuras: Resposta:Alternativa C 02.(EEAR/2006)Considere as afirmações: I- ABCDEF é um polígono convexo. II- G pertence a um lado do polígono. III- A pertence ao polígono ABCDEF. IV- BG é uma diagonal do polígono ABCDEF. São falsas as afirmações a)I e III b)II e IV c)I e IV d)II e III Solução: I)Um polígono é convexo quando cada um dos seus ângulos internos é maior do que 00 e menor do que 1800.Como todos os ângulos internos do polígono ABCDEF satisfaz a essa condição, o mesmo é convexo.Portanto, a afirmativa I é verdadeira. II)O ponto G pertence ao interior do polígono.Portanto, a afirmativa II é falsa. III)O ponto A pertence ao polígono. Portanto, a afirmativa II é verdadeira. IV)A diagonal de um polígono é um segmento que une dois vértices não consecutivos do mesmo.Sendo assim, BG não é uma diagonal do polígono ABCDEF. Portanto, a afirmativa IV é falsa. Resposta:Alternativa B 03.(EEAR/2007)O lado de um eneágono regular mede 2,5cm.O perímetro desse polígono, em cm, é a)15 b)20 c)22,5 d)27,5 Solução: 2 Como o eneágono regular possui 9 lados congruentes, temos que o perímetro desse polígono é igual a 9●2,5 cm = 22,5 cm Resposta:Alternativa C 04.(EEAR/2009)O número de diagonais do pentadecágono é a)90 b)60 c)54 d)48 Solução: O número total de diagonais de um polígono convexo é dado pela fórmula: Dn = , onde n=número de lados ou gênero do polígono Sendo assim, vem: D15 = => D15 = ● => D15 = 15●6 D = 90 Resposta:Alternativa A 05.(EEAR/2005)O número de diagonais de um polígono é o décuplo do número de lados. O número de vértices desse polígono é a)17 b)23 c)51 d)69 Solução: Sendo D o número total de diagonais desse polígono e n o seu número de lados(n0 de lados igual ao n0 de vértices),do enunciado, temos: Dn = 10n = 10n => n(n-3) = 2●10n (÷n) n – 3 = 20 => n = 20 + 3 n = 23 Resposta:Alternativa B 06.(EEAR/2007)Dois polígonos convexos têm o número de lados expresso por n e n + 3 .Sabendo que um polígono tem 18 diagonais a mais que o outro, o valor de n é a)10 b)8 c)6 d)4 Solução: Sendo Dn o n 0 de diagonais do polígono de n lados e Dn+3 o n0 de diagonais do polígono de n + 3 lados, do enunciado,temos: Dn+3 = Dn + 18 = + 18 = + 18(●2) (n+3)n = n(n-3) + 36 => n2 + 3n = n2 - 3n + 36 3n + 3n = 36 => 6n = 36(÷6) n=6 Resposta:Alternativa C 07.(EEAR/2013)Se A é o número de diagonais de um icoságono e B o número de diagonais de um decágono,então A-B é igual a a)85 b)135 c)165 d)175 Solução: O número total de diagonais de um polígono convexo é dado pela fórmula: Dn = , onde n=número de lados ou gênero do polígono 3 Sendo assim, vem: I)D20= => D20=10●17 D20 =170 II)D10= => D20=5●7 D10 =35 Portanto, temos: A – B = 170 – 35 A – B = 135 Resposta:Alternativa B 08.(EEAR/2005)Na figura, o valor de x é a)620 b)980 c)1340 d)1700 Solução: Sendo Si a soma dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados , temos: Si =(n-2)●180 0 Como o polígono da figura é um pentágono,vem: x+x+120+x+80+x+100+x+200=(5-2)●1800 5x + 500 = 3●1800 => 5x = 5400 - 500 5x = 4900(÷5) x = 980 Resposta:Alternativa B 09.(EEAR/2007)Os polígonos ABCDEI , EFGHI e IJA são regulares. O complemento do ângulo JIH mede a)72º b)36º c)18º d)9º Solução: Os polígonos ABCDEI , EFGHI e IJA da figura são, respectivamente, um hexágono, um pentágono e um triângulo.Como estes polígonos são regulares, os seus ângulos internos, como também os seus ângulos externos, são congruentes.O ângulo JÎH é um ângulo externo do pentágono EFGHI,cuja medida do seu ângulo externo é igual a: ên = => ê5 = = 720 = JÎH Logo, o complemento do ângulo JÎH é igual a: 900 – JÎH = 900 – 720 = 180 4 Resposta:Alternativa C 10.(EEAR/2010)O polígono convexo, cuja soma dos ângulos internos é 23400,tem número de diagonais igual a a)85 b)90 c)95 d)100 Solução: Temos: Si = 2.340 0 (n-2)●1800 = 2.3400(÷1800) n-2 = 13 => n = 13 + 2 n = 15 Como Dn = , vem: D15 = => D15 = => D15 = 15●6 D15 = 90 Resposta:Alternativa B 11.(EEAR/2008)Num polígono convexo, a soma das medidas dos ângulos internos com as dos ângulos externos é 2.700°. O número de lados desse polígono é a)12. b)13. c)15. d)17 Solução: Sabemos que: Si + Se = 180●n Logo, vem: 2.700° = 180●n(÷1800) 15 = n Resposta:Alternativa C 12.(EEAR/2006)A medida do ângulo externo de um icoságono regular é a)18° b)20° c)24° d)30° Solução: Sabemos que: ên = Logo, vem: ê20 = ê20 = 180 Resposta:Alternativa A 13.(EEAR/2010)Um ângulo externo de um polígono regular mede 150.Se o polígono tem n lados, n é um número a)primo c)entre 20 e 30 b)ímpar d)menor que 150 Solução: Sabemos que: ên = Logo, vem: 150 = => n = n = 24 Resposta:Alternativa C 5 14.(EEAR/2008)Em um polígono regular, a medida de um ângulo interno é o triplo da medida de um ângulo externo. Esse polígono é o a)hexágono. c)eneágono. b)octógono. d)decágono Solução: Do enunciado, temos: în = 3●ên Como în + ên = 1800 în + ên = 1800 - ên , vem: 1800 - ên = 3●ên => 1800 = 3ên + ên 1800 = 4ên (÷4) => 450 = ên => 450 = n = n = 8 Resposta:Alternativa B 15.(EEAR/2009)Dois polígonos regulares são tais que seus ângulos externos estão entre si como 3 está para 1, e seus números de lados somam 16.Um desses polígonos denomina-se: a)octógono c)dodecágono b)icoságono d)pentadecágono Solução: Do enunciado, temos: I) = î1 = 3î2 => = 3 ● (÷3600) = =>n2 = 3n1 II)n1 + n2 = 16 n1 + 3n1 = 16 => 4n1 = 16(÷4) n1 = 4►quadrilátero Logo, n2 = 12►dodecágono Resposta:Alternativa C 16.Um polígono regular possui a partir de cada um de seus vértices tantas diagonais quantas são as diagonais de um hexágono. Cada ângulo interno desse polígono mede em graus: a)140 b)150 c)155 d)160 e)170 Solução: Um hexágono tem: Dn = D6 = => D6 = 3●3 D6 = 9 Sendo dn o número de diagonais de cada vértice desse polígono,temos: dn = D6 n – 3 = 9 => n = 9 + 3 n = 12 Sabemos que: 6 ên = Logo, vem: ê12 = => ê12 = 300 Como î + ê = 1800 ,
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