Qual é o polígono convexo cuja a soma das medidas dos ângulos internos é igual a 720?

Entre os elementos de um polígono, estão os lados, vértices, ângulos internos e ângulos externos. Quando o polígono é convexo, também podemos pensar nas suas diagonais e criar propriedades como a soma de seus ângulos internos e a soma de seus ângulos externos. Essa última propriedade deve sempre ser igual a 360°, em todo polígono convexo. Isso é resultado da definição dos ângulos externos, aliada a algumas propriedades envolvendo ângulos que serão discutidas mais adiante.

A soma dos ângulos internos varia de polígono a polígono, dependendo de seu número de lados. Assim, desde que convexos, os polígonos:

a) Que possuem três lados têm soma dos ângulos internos igual a 180°;

b) Que possuem quatro lados têm a soma dos ângulos internos igual a 360°;

c) Que possuem n lados têm a soma dos ângulos internos igual a (n – 2)180.

Definição de ângulo externo

Um ângulo externo é a abertura entre o prolongamento de um lado de um polígono e o lado adjacente a ele. Observe, por exemplo, os ângulos externos da figura a seguir:

Os ângulos assinalados com as letras gregas α, β, γ, δ e ε são externos, pois representam justamente a abertura entre um lado do polígono e o prolongamento do lado adjacente a ele.

Propriedades relacionando ângulos externos e ângulos internos

Perceba que sempre existe um ângulo interno que compartilha um lado de um polígono com um ângulo externo. Observe também que esses dois ângulos estão sempre sobre a mesma reta, já que o ângulo externo depende do prolongamento do lado do polígono. Dessa forma, garantimos que a soma de um ângulo interno com o ângulo externo adjacente a ele é igual a 180°. Em outras palavras:

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Um ângulo interno e o ângulo externo adjacente a ele sempre são suplementares.

No pentágono regular acima, temos um ângulo interno e um externo. Como o pentágono é regular, cada um de seus ângulos internos mede 108°. Assim sendo, cada um de seus ângulos externos medirá 72°.

Observe que existem exatos cinco ângulos externos nesse polígono, e que todos medem 72° porque o polígono é regular.

5·72 = 360°

Demonstração

Independentemente de qual seja o polígono convexo e sua quantidade de lados, ou do fato de todos os lados possuírem medidas diferentes, cada ângulo interno (Si), somado ao seu ângulo externo adjacente (Ai), deve ter como resultado 180°:

Si + Ai = 180°

Seja S a soma de todos os ângulos internos e A a soma de todos os ângulos externos, em um polígono de n lados, temos também n ângulos internos e n ângulos externos. Assim:

S + A = 180·n

A soma dos ângulos internos nós já conhecemos, pois ela é obtida pela expressão: S = (n – 2)180. Substituindo S por essa expressão na equação anterior, temos:

S + A = 180n

(n – 2)180 + A = 180n

180n – 360 + A = 180n

Como queremos descobrir a soma dos ângulos externos de um polígono, isolaremos a incógnita A no primeiro membro:

180n – 360 + A = 180n

A = 180n + 360 – 180n

A = 360°

Portanto, fica demonstrado que a soma dos ângulos externos de um polígono convexo é sempre igual a 360°.

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1 
 
 
 
 
 
01.(EEAR/2008)O número de figuras abaixo 
que representam polígonos convexos é 
 
 
a)5 b)4 c)3 d)2 
 
Solução: 
 
Um polígono é convexo quando as medidas de 
seus ângulos internos são maiores que 00 e 
menores do que 1800. 
 
Logo, são polígonos convexos as seguintes 
figuras: 
 
 
 
 Resposta:Alternativa C 
 
02.(EEAR/2006)Considere as afirmações: 
 
I- ABCDEF é um polígono convexo. 
 
II- G pertence a um lado do polígono. 
 
III- A pertence ao polígono ABCDEF. 
 
IV- BG é uma diagonal do polígono ABCDEF. 
 
 
 
São falsas as afirmações 
 
a)I e III b)II e IV c)I e IV d)II e III 
 
Solução: 
 
I)Um polígono é convexo quando cada um dos 
seus ângulos internos é maior do que 00 e 
menor do que 1800.Como todos os ângulos 
internos do polígono ABCDEF satisfaz a essa 
condição, o mesmo é convexo.Portanto, a 
afirmativa I é verdadeira. 
 
II)O ponto G pertence ao interior do 
polígono.Portanto, a afirmativa II é falsa. 
 
III)O ponto A pertence ao polígono. Portanto, 
a afirmativa II é verdadeira. 
 
IV)A diagonal de um polígono é um segmento 
que une dois vértices não consecutivos do 
mesmo.Sendo assim, BG não é uma diagonal do 
polígono ABCDEF. Portanto, a afirmativa IV é 
falsa. 
 
Resposta:Alternativa B 
 
03.(EEAR/2007)O lado de um eneágono 
regular mede 2,5cm.O perímetro desse 
polígono, em cm, é 
 
a)15 b)20 c)22,5 d)27,5 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
2 
Como o eneágono regular possui 9 lados 
congruentes, temos que o perímetro desse 
polígono é igual a 9●2,5 cm = 22,5 cm 
 
Resposta:Alternativa C 
 
04.(EEAR/2009)O número de diagonais do 
pentadecágono é 
 
a)90 b)60 c)54 d)48 
 
Solução: 
 
O número total de diagonais de um polígono 
convexo é dado pela fórmula: Dn = 
 
 
, 
onde n=número de lados ou gênero do polígono 
 
Sendo assim, vem: 
 
D15 = 
 
 
 => D15 = 
 ● 
 
 => D15 = 15●6 
 
 D = 90 
 
Resposta:Alternativa A 
 
05.(EEAR/2005)O número de diagonais de um 
polígono é o décuplo do número de lados. O 
número de vértices desse polígono é 
 
a)17 b)23 c)51 d)69 
 
Solução: 
 
Sendo D o número total de diagonais desse 
polígono e n o seu número de lados(n0 de lados 
igual ao n0 de vértices),do enunciado, temos: 
 
Dn = 10n 
 
 
 
 
 = 10n => n(n-3) = 2●10n (÷n) 
 
n – 3 = 20 => n = 20 + 3  n = 23 
 
Resposta:Alternativa B 
 
06.(EEAR/2007)Dois polígonos convexos têm o 
número de lados expresso por n e n + 3 
.Sabendo que um polígono tem 18 diagonais a 
mais que o outro, o valor de n é 
 
a)10 b)8 c)6 d)4 
 
Solução: 
 
Sendo Dn o n
0 de diagonais do polígono de n 
lados e Dn+3 o n0 de diagonais do polígono de 
n + 3 lados, do enunciado,temos: 
 
Dn+3 = Dn + 18 
 
 
 
 = 
 
 
 + 18 
 
 
 
 = 
 
 
 + 18(●2) 
 
(n+3)n = n(n-3) + 36 => n2 + 3n = n2 - 3n + 36 
 
3n + 3n = 36 => 6n = 36(÷6)  n=6 
 
Resposta:Alternativa C 
 
07.(EEAR/2013)Se A é o número de diagonais 
de um icoságono e B o número de diagonais de 
um decágono,então A-B é igual a 
 
a)85 b)135 c)165 d)175 
 
Solução: 
 
O número total de diagonais de um polígono 
convexo é dado pela fórmula: Dn = 
 
 
, 
onde n=número de lados ou gênero do polígono 
 
 
 
 
3 
 
Sendo assim, vem: 
 
I)D20= 
 
 
 => D20=10●17  D20 =170 
 
II)D10= 
 
 
 => D20=5●7  D10 =35 
 
Portanto, temos: 
 
A – B = 170 – 35 A – B = 135 
 
Resposta:Alternativa B 
 
 
08.(EEAR/2005)Na figura, o valor de x é 
 
 
 
a)620 b)980 c)1340 d)1700 
 
Solução: 
 
Sendo Si a soma dos ângulos internos de um 
polígono convexo de n lados , temos: 
 
Si =(n-2)●180
0 
 
Como o polígono da figura é um pentágono,vem: 
 
x+x+120+x+80+x+100+x+200=(5-2)●1800 
 
5x + 500 = 3●1800 => 5x = 5400 - 500 
 
5x = 4900(÷5)  x = 980 
 
Resposta:Alternativa B 
 
09.(EEAR/2007)Os polígonos ABCDEI , 
EFGHI e IJA são regulares. O complemento 
do ângulo JIH mede 
 
 
 
a)72º b)36º c)18º d)9º 
 
Solução: 
 
 
Os polígonos ABCDEI , EFGHI e IJA da 
figura são, respectivamente, um hexágono, um 
pentágono e um triângulo.Como estes polígonos 
são regulares, os seus ângulos internos, como 
também os seus ângulos externos, são 
congruentes.O ângulo JÎH é um ângulo externo 
do pentágono EFGHI,cuja medida do seu ângulo 
externo é igual a: 
 
ên = 
 
 
 => ê5 = 
 
 
 = 720 = JÎH 
 
Logo, o complemento do ângulo JÎH é igual a: 
 
900 – JÎH = 900 – 720 = 180 
 
 
 
 
4 
Resposta:Alternativa C 
 
10.(EEAR/2010)O polígono convexo, cuja soma 
dos ângulos internos é 23400,tem número de 
diagonais igual a 
 
a)85 b)90 c)95 d)100 
 
Solução: 
 
Temos: 
 
Si = 2.340
0 
 
(n-2)●1800 = 2.3400(÷1800) 
 
n-2 = 13 => n = 13 + 2 n = 15 
 
Como Dn = 
 
 
 , vem: 
 
D15 = 
 
 
 => D15 = 
 
 
 => 
 
 D15 = 15●6  D15 = 90 
 
Resposta:Alternativa B 
 
11.(EEAR/2008)Num polígono convexo, a soma 
das medidas dos ângulos internos com as dos 
ângulos externos é 2.700°. O número de lados 
desse polígono é 
 
a)12. b)13. c)15. d)17 
 
Solução: 
 
Sabemos que: 
 
Si + Se = 180●n 
 
Logo, vem: 
 
2.700° = 180●n(÷1800) 15 = n 
 
Resposta:Alternativa C 
 
12.(EEAR/2006)A medida do ângulo externo 
de um icoságono regular é 
 
a)18° b)20° c)24° d)30° 
 
Solução: 
 
Sabemos que: 
 
ên = 
 
 
 
 
Logo, vem: 
 
ê20 = 
 
 
  ê20 = 180 
 
Resposta:Alternativa A 
 
13.(EEAR/2010)Um ângulo externo de um 
polígono regular mede 150.Se o polígono tem n 
lados, n é um número 
 
a)primo c)entre 20 e 30 
b)ímpar d)menor que 150 
 
Solução: 
 
Sabemos que: 
 
ên = 
 
 
 
 
Logo, vem: 
 
150 = 
 
 
 => n = 
 
 
  n = 24 
 
Resposta:Alternativa C 
 
 
 
 
 
5 
14.(EEAR/2008)Em um polígono regular, a 
medida de um ângulo interno é o triplo da 
medida de um ângulo externo. Esse polígono é o 
 
a)hexágono. c)eneágono. 
b)octógono. d)decágono 
 
Solução: 
 
Do enunciado, temos: 
 
în = 3●ên 
 
Como în + ên = 1800  în + ên = 1800 - ên , 
vem: 
 
1800 - ên = 3●ên => 1800 = 3ên + ên 
 
1800 = 4ên (÷4) => 450 = ên => 450 = 
 
 
 
 
n = 
 
 
  n = 8 
 
Resposta:Alternativa B 
 
15.(EEAR/2009)Dois polígonos regulares são 
tais que seus ângulos externos estão entre si 
como 3 está para 1, e seus números de lados 
somam 16.Um desses polígonos denomina-se: 
 
a)octógono c)dodecágono 
b)icoságono d)pentadecágono 
 
Solução: 
 
Do enunciado, temos: 
 
 
I) 
 
 
 = 
 
 
 
 
î1 = 3î2 => 
 
 
 = 3 ● 
 
 
 (÷3600) 
 
 
 
 = 
 
 
 =>n2 = 3n1 
 
II)n1 + n2 = 16 
 
n1 + 3n1 = 16 => 4n1 = 16(÷4) 
 
 n1 = 4►quadrilátero 
 
Logo, n2 = 12►dodecágono 
 
Resposta:Alternativa C 
16.Um polígono regular possui a partir de cada 
um de seus vértices tantas diagonais quantas 
são as diagonais de um hexágono. Cada ângulo 
interno desse polígono mede em graus: 
a)140 b)150 c)155 d)160 e)170 
Solução: 
 
Um hexágono tem: 
 
Dn = 
 
 
 
 
D6 = 
 
 
 => D6 = 3●3  D6 = 9 
 
Sendo dn o número de diagonais de cada 
vértice desse polígono,temos: 
 
dn = D6 
 
n – 3 = 9 => n = 9 + 3  n = 12 
 
Sabemos que: 
 
 
 
 
 
6 
ên = 
 
 
 
 
Logo, vem: 
 
ê12 = 
 
 
 => ê12 = 300 
 
Como î + ê = 1800 ,

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Qual é o polígono cuja soma das medidas dos ângulos internos é igual a 720?

Qual a soma dos ângulos internos polígono convexo?

Qual o polígono convexo cuja soma das medidas dos ângulos internos mais a soma das medidas dos ângulos externos é igual a 1440?

Qual é o polígono convexo em que a soma das medidas dos ângulos internos é o quádruplo da soma das medidas dos ângulos externos?