Questão 2
(UERJ) Foi veiculada na televisão uma propaganda de uma marca de biscoitos com a seguinte cena: um jovem casal está num mirante sobre um rio e alguém deixa cair lá de cima um biscoito. Passados alguns segundos, o rapaz se atira do mesmo lugar de onde caiu o biscoito e consegue agarrá-lo no ar. Em ambos os casos, a queda é livre, as velocidades iniciais são nulas, a altura da queda é a mesma e a resistência do ar é nula. Para Galileu Galilei, a situação física desse comercial seria interpretada como:
a) impossível, porque a altura da queda não era grande o suficiente.
b) possível, porque o corpo mais pesado cai com maior velocidade.
c) possível, porque o tempo de queda de cada corpo depende de sua forma.
d) impossível, porque a aceleração da gravidade não depende da massa dos corpos.
Respostas
Resposta Questão 1
Dados:
g = 10 m/s2
v0 = 10 m/s
v = 50 m/s
Pela equação de Torricelli, temos:
v2 = v02 + 2.g.Δs
502 = 102 + 2.10.Δs
2500 = 100 + 20Δs
Δs = 2500 – 100
20
Δs = 2400
20
Δs = 120 m
Alternativa B
Resposta Questão 2
De acordo com as teorias de Galileu, a queda livre dos corpos depende apenas da aceleração da gravidade do local, portanto, seria impossível que ocorresse a situação descrita no problema.
Alternativa D
Resposta Questão 3
Dados:
h = 40 m
g = 10
m/s2
v0 = 0
Para encontrar a velocidade final, podemos utilizar a equação de Torricelli: v2 = v02 + 2.g.Δs.
Substituindo os dados, temos:
v2 = v02 + 2.g.Δs
v2 = 02 + 2.10.40
v2 = 800
v = 28,3 m/s
Resposta Questão 4
Dados:
v0 = 0 m/s
t = 3 s
g = 10 m/s2
S – S0 = h (altura do prédio)
Através da equação horária do espaço, temos:
S = S0 + v0t + 1 gt2
2
S - S0 = v0t + 1 gt2
2
h = 0 . 2 + 1 10 . 32
2
h = 0 + 5.9
h = 45 m
A queda livre de um corpo é um movimento no qual o corpo é abandonado de um certa altura e cai acelerado, exclusivamente por efeito da gravidade. No lançamento vertical, o corpo é lançado com uma velocidade inicial e sofre somente a aceleração da
gravidade. No estudo de ambos movimentos, será desprezada a força de resistência do ar. Assim, serão movimentos retilíneos com a aceleração constante (gravidade). Ou seja, são casos particulares de um MRUV. Portanto, serão aplicadas as mesmas equações do MRUV. 📚 Você vai prestar o Enem? Estude de graça com o Plano de Estudo Enem De Boa 📚 Nesse caso, como o corpo é abandonado, a velocidade inicial é zero, e a aceleração é a gravidade (g). Então, a equação horária da velocidade pode ser escrita como: \[ v=v_{0}+a\qquad t \qquad \xrightarrow{}\qquad v=g \qquad t \] A velocidade instantânea é diretamente proporcional ao tempo de queda. Além
disso, S-S0 (\(\Delta S\)) será a altura que o corpo terá percorrido durante certo tempo. Assim, pode-se escrever a equação horária da posição como: \[ S-S_{0}=v_{0}\qquad t + \dfrac{a\qquad t^{2}}{2} \qquad \xrightarrow{}\qquad H=\dfrac{g\qquad t^{2}}{2} \] Essa equação denota que a altura percorrida depende do quadrado do tempo de queda, ou seja, uma relação quadrática. Assim, o gráfico H x t será
uma parábola, como é esperado em um MRUV. Caso seja desejado o tempo de queda, basta isolar t na equação anterior, obtendo: \[ t=\sqrt{\dfrac{2H}{g}} \] É importante prestar atenção no referencial adotado. Nessa equação, H é a altura percorrida nos t segundos de queda, de cima para baixo. O referencial muda a diireção das forças. Ao aplicar essas equações, é muito comum aproximar a gravidade na superfície da Terra para g=10 m/s2. Se for considerada uma situação na Lua ou em outro planeta, a gravidade assumirá outro valor. Exemplo: uma pedra é abandonada do topo de um edifício
de 45 metros de altura. Determine: Resolução: Índice
Introdução
Queda Livre
- Depois de 1 segundo, a pedra terá percorrido:
\[ H=\dfrac{g\qquad t^{2}}{2} \qquad \xrightarrow{}\qquad H=\dfrac{10\cdot 1^{2}}{2}=5 \qquad m \]
Contudo, como a altura inicial era de 45 metros, e a pedra caiu 5 metros, sua altura após 1 segundo será de 40 metros em relação ao chão.
- Para o tempo, pode-se utilizar a mesma equação, mas dessa vez com a altura total, a fim de descobrir o tempo total:
\[ H=\dfrac{g\qquad t^{2}}{2} \qquad \xrightarrow{}\qquad 45=\dfrac{10\cdot t^{2}}{2} \]
\[ \dfrac{90}{10}=t^{2}\qquad \xrightarrow{}\qquad 9=t^{2} \qquad \xrightarrow{}\qquad t=3 \qquad s \]
Também poderia ser utilizada diretamente a fórmula para o tempo, que fornece o mesmo resultado:
\[ t=\sqrt{\dfrac{2 \qquad H}{g}} \qquad \xrightarrow{}\qquad t=\sqrt{\dfrac{2\cdot 45}{10}}\qquad \xrightarrow{}\qquad t=3 \qquad s \]
- Sabendo o tempo de queda, pode-se utilizar a função horária da velocidade:
\[ v=g \qquad t \qquad \xrightarrow{}\qquad v=10\cdot 3 \qquad \xrightarrow{}\qquad v=30 \qquad m/s \]
Também poderia-se determinar a velocidade através da equação de Torricelli:
\[ v^{2}={v_{0}}^{2} + 2\cdot a\cdot \Delta S \qquad \xrightarrow{}\qquad v^{2}=0^{2}+2\cdot10\cdot45 \]
\[ v^{2}=900 \qquad \xrightarrow{}\qquad v=30 \qquad m/s \]
Desse exemplo, percebe-se que em 3 segundos de queda, um corpo percorre 45 metros. A tabela abaixo correlaciona os tempos de queda mais comuns em problemas, com suas respectivas alturas (através da fórmula H=\frac{g t^{2}}{2}):
| Tempo (s) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Altura (m) | 5 | 20 | 45 | 80 | 125 | 180 |
Ainda no exemplo anterior, foi visto que no primeiro segundo de queda a pedra percorreu 5 metros. É possível calcular o quanto ela percorreu no 2º e no 3º segundos de queda:
Com t=2 segundos, têm-se H=20 metros. Ou seja, em dois segundos, o corpo percorreu 20 metros. Mas desses 20 metros, 5 já haviam sido percorridos no primeiro segundo. Assim, entre t=1 e t=2, a pedra percorreu 15 metros.
Usando o mesmo raciocínio, entre t=2 e t=3 a pedra percorreu 45-20 = 25 metros.
As distâncias percorridas a cada segundo extra de queda formam uma progressão aritmética, de razão igual à aceleração, que tem relação com a P.A. de Galileu.
| entre 0 e 1 segundo | entre 1 e 2 segundos | entre 2 e 3 segundos | diferença constante=razão da PA |
| 5 metros | 15 metros | 25 metros | 10 metros |
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Lançamento Vertical para Cima
Ao analisar o lançamento vertical para cima, novamente serão aplicadas as equações do MRUV. Nesse caso, é mais conveniente estabelecer um referencial orientado de baixo para cima.
Assim, a velocidade inicial é positiva (para cima) e a aceleração é negativa.
\[ v=v_{0}-g \qquad t \]
Como o corpo lançado vai subir e, posteriormente, descer, haverá um tempo de subida e uma altura máxima atingida, além, é claro, do tempo de descida.
O tempo de subida é mais facilmente determinado utilizando a função horária da velocidade. No ponto mais alto da trajetória, o móvel está invertendo o sentido do movimento (estava subindo e passa a descer). Portanto, nesse instante, sua velocidade é nula. Assim:
\[ v=v_{0}-g \qquad t \qquad \xrightarrow{}\qquad 0=v_{0}-g \qquad t_{s} \]
\[ t_{s}=\dfrac{v_{0}}{g} \]
O tempo de descida será igual ao tempo de subida. Isso ocorre pois a parábola que descreve um MRUV é simétricaem relação ao seu vértice, que é justamente o ponto de inversão do sentido do movimento.
A partir desse ponto, onde a velocidade é nula, o movimento é idêntico a uma queda livre (caindo acelerado com velocidade inicial zero). Desse modo, pode-se utilizar a expressão \(H=\frac{gt^2}{2}\):
- \[ t_{d}=t_{s}=\dfrac{v_{0}}{g} \]
- \[ H_{max}=\dfrac{g\qquad {t_{d}}^{2}}{2} \]
Substituindo:
\[ H_{max}=\dfrac{{v_{0}}^{2}}{2\qquad g} \]
Para uma posição e instante genéricos do lançamento, basta aplicar a equação horária da posição, tendo cuidado com o referencial adotado.
\[ \Delta S = H = v_{0}\qquad t - \dfrac{g\qquad t^{2}}{2} \]
Observação: o tempo de subida e descida são iguais quando considerada a altura final igual à inicial. Por exemplo, o corpo sendo lançado do chão e retornando ao chão, ou lançado de um telhado e retornando ao telhado.
Se o corpo for lançado a partir de um telhado, para cima, e finalizar seu movimento no chão, seu tempo de descida será maior que o de subida, pois percorrerá maior distância na descida que na subida.
Nesse caso de tempo de descida igual ao tempo de subida, ainda pode-se determinar o tempo total de vôo:
\[ t_{voo}=t_{s}+t_{d}=\dfrac{2\qquad v_{0}}{g} \]
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Lançamento Vertical para Baixo
Em um lançamento vertical para baixo, são aplicadas as equações do MRUV, sem grande simplificação. É importante ter atenção para o referencial adotado, especialmente se o problema envolver mais de um movimento (entre lançamento para cima, para baixo e queda livre).
Se isso ocorrer, deve ser utilizado o mesmo referencial para analisar os diferentes movimentos.
Se for considerado somente o lançamento para baixo, pode ser mais conveniente usar o primeiro referencial exemplificado.
Relembrando as equações do MRUV que são aplicadas:
\[ S=S_{0} + v_{0}\qquad t + \frac{a \qquad t^{2}}{2} \] e \[ v=v_{0} + a\qquad t \]
Nelas, a aceleração será +g ou -g.
Além disso, tanto nos lançamentos verticais quanto na queda livre pode ser aplicada a equação de Torricelli:
\[ v^{2}=v_{0}^{2}+2\qquad a\qquad \Delta S \]
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Fórmulas
| QUEDA LIVRE | ||
| \(H\frac{gt^2}{2}\) | \(v=gt}\) | \(t=\sqrt{2H}{g}\) |
| LANÇAMENTO VERTICAL PARA CIMA | ||
| \(\Delta S=H=v_0t-\frac{gt^2}{2}\) | \(v=v_0-gt\) | \(h_{max}=\frac{v_0^2}{2g}\) |
| \(t_s=\fracv_0}{g} | \(t_{voo}=t_s+t_d=\frac{2v_0}{g}\) | |
| LANÇAMENTO VERTICAL PARA BAIXO | ||
| \(S=S_0+v_0t=\frac{at^2}{2}\) | \(v=v_0+at\) | \(v^2=v^2_0+2a\Delta S\) |
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Exercício de fixação
FUVEST/2010
Numa filmagem, no exato instante em que um caminhão passa por uma marca no chão, um dublê se larga de um viaduto para cair dentro de sua caçamba. A velocidade v do caminhão é constante e o dublê inicia sua queda a partir do repouso, de uma altura de 5 m da caçamba, que tem 6 m de comprimento. A velocidade ideal do caminhão é aquela em que o dublê cai bem no centro da caçamba, mas a velocidade real v do caminhão poderá ser diferente e ele cairá mais à frente ou mais atrás do centro da caçamba. Para que o dublê caia dentro da caçamba, v pode diferir da velocidade ideal, em módulo, no máximo:
A 1 m/s.
B 3 m/s.
C 5 m/s.
D 7 m/s.
E 9 m/s.