Qual a probabilidade de sair coroa 3 vezes em 8 lançamentos de uma moeda não viciada é ?( Método binomial?

Exercícios resolvidos de provas com comentários sobre distribuição binomial

"Em nossas loucas tentativas, renunciamos ao que somos pelo que esperamos ser".William Shakespeare

Antes de entrar no assunto principal vamos entender o que é fatorial de um número que tem como simbolo o n!

Na matemática, o fatorial de um número natural n, representado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. A notação n! foi introduzida por Christian Kramp em 1808.

Exemplo: Calcule o fatorial dos números 0,1,2,3,4 e 5 .

Solução

0! = 1
1! = 1
2! = 2.1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120.

Observação: O zero não entra nesta definição, pois se multiplicarmos todo o produto de n até 1 por zero teremos zero como resultado.

O que é uma distribuição binomial?

Em estatística, a distribuição binomial é a distribuição de probabilidade do número de sucessos numa sequência de n tentativas.

O que devemos saber sobre essa distribuição?

Vamos entender as caraterísticas de um experimento binomial

Um experimento binomial é um ensaio estatístico que tem as seguintes propriedades:

O experimento consiste em n ensaios repetidos.

Cada ensaio pode resultar em apenas dois resultados possíveis. Chamamos um desses resultados um sucesso e outro, um fracasso.

A probabilidade de sucesso, que denotaremos por p é a mesma para cada ensaio. A probabilidade de falha será denotada por q=1-p.

Os ensaios são independentes; isto é, o resultado de um ensaio não afeta o resultado em outros ensaios.

Mas o que é um ensaio independente?

Um ensaio em um experimento é independente se a probabilidade de cada resultado possível não muda de ensaio para ensaio. Por exemplo, se você lança uma moeda para o alto cinquenta vezes, cada lançamento é um ensaio independente, porque o resultado de um lançamento (cara ou coroa) não afeta a probabilidade de se obter cara ou coroa no próximo lançamento.

Onde :

n = número de experimentos executados;

p = é o valor da probabilidade do que se quer que aconteça, ou seja, é a probabilidade de sucesso.

k = é o numero de vezes que a pergunta do exercício pede que ocorra.

Exemplo:calcule a probabilidade de sair duas caras no lançamento de 3 moeda...o número de vezes que o exercício pede para que ocorra cara é o nosso k então : k=2

q = probabilidade de fracasso.

Suponha que numa linha de produção, a probabilidade de se obter uma peça defeituosa é igual a 0,1. Toma-se uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas . Qual é a probabilidade de se obter :

1.1 uma peça defeituosa ?
1.2 nenhuma peça defeituosa ?
1.3 duas peças defeituosas ?
1.4 no mínimo duas peças defeituosas?
1.5 no máximo duas peças defeituosas ?

Solução

A 1ª coisa a fazer é saber o número de n tentativas,a probabilidade de sucesso(p) e posteriormente o fracasso(q=1-p),ou seja n =10, p= 0,1 e q = 1-0,1 = 0,9.

1.1-para calcular a probabilidade de uma peça defeituosa,a gente tem que saber que o nosso k(número de sucessos nos n experimentos)vai ser igual a 1 porque a gente quer saber somente a probabilidade de sair uma peça e só, então : como k=1,p=0,1 e n= 10 teremos:

Substituindo na Fórmula , vem :

Continuando...

1.2- Já que vamos calcular a probabilidade para nenhuma peça defeituosa,o nosso k vai ser igual a 0(nenhuma peça=nada)então : n=10,k=0,p=0,1 e q= 1-0,1=0,9

1.3- o nosso objetivo é calcular a probabilidade para duas peças defeituosas,isso significa que o nosso número de sucesso (o que a gente deseja calcular) é igual a k=2, então : como n=10,p=0,1 e q=0,9 teremos:

A gente pode notar que calculando a probabilidade desses 8 ks vai dar muito trabalho então , a gente pode calcular o que não quer que é o k=0 e k=1,porque o somatório do que a gente quer e o que a gente não quer tem que ser igual a 1 (100%). Quero + não Quero=1 ou seja: 1-não Quero=Quero.

Mas a probabilidade para k=0 e k=1 a gente já calculou nos exercícios anteriores ou seja:0,3486 e 0,3874 respectivamente. Então:

Ou seja :

1.5- Finalmente a gente quer saber a probabilidade de no máximo ter 2 peças defeituosas . isso quer dizer que o nosso interesse está em k=0 + K=1 + K=2. Sempre que você ver na prova dizendo no máximo x, quer dizer que é do x para zero.

A probabilidade para x=0,x=1 e x=2 a gente já fez anteriormente ,um Ctrl c+ Ctrl v basta. então:

OBS: Para você fazer fácil na calculadora siga a fórmula :

Digite o valor de n, clique em nCr, digite o valor de k. depois de obter o valor, multiplique com o p elevado a k e o 1-p elevado a n-k .

Exercício 2

Considere que a probabilidade de nascimento de homens e mulheres é igual.
Determine a probabilidade de um casal com 6 filhos ter 4 homens e 2 mulheres.

Solução

A 1ª coisa a fazer é saber o número total do experimento(n) que neste caso será o número total de filhos,a probabilidade de sucesso(p) e posteriormente o fracasso(q=1-p),ou seja n= 6 filhos.

Mas o exercício não deu a probabilidade de sucesso(P)nem a probabilidade de fracasso (q), mas passou pra gente algo extremamente interessante, que a probabilidade de nascimento de homens e mulheres é igual.Se é igual então temos 50% de sucesso(50% de acontecer) e 50% de fracasso(50% de não acontecer)..nesse caso é como se fosse em uma moeda,sempre teremos 50% de sair cara ou coroa.
Resumindo: n=6,p=0,5 e q=0,5
Depois de encontrarmos os valores de n,p e q podemos prosseguir :
A probabilidade para o casal ter 4 homens e 2 mulheres será :

Substituindo na fórmula, teremos :

A probabilidade para o casal ter 4 homens e duas mulheres é de 23,44%.

Se você quiser calcular a média,variância e desvio padrão utilize as fórmulas : Média(x)=n.p ; var(x)=n.p.q ; Dp= raiz da variância.

Exercício 3

Uma moeda é lançada 20 vezes. Qual é a probabilidade de saírem 8 caras. 

Solução

Antes de tudo, devemos saber o número de n tentativas,a probabilidade de sucesso(p) e posteriormente o fracasso(q=1-p).
Temos que n=20 (número total de lançamentos) mas tá faltando a probabilidade de sucesso(p) e a probabilidade fracasso(q=1-p).
E agora ? não estressa , sempre que a gente fala de uma moeda, a probabilidade de acontecer(sucesso) e de não acontecer(fracasso) é 0,5 ou 50%.E do mesmo jeito acontece com um dado que sempre será p=1/6 desde que não fale no exercício que ele é um dado viciado.
Resumindo: n=20,k=8,p=0,5 e q=0,5

A probabilidade de saírem 8 caras será :

Substituindo os valores teremos :

Fazendo pela calculadora :

Digite o valor de n=20, clique em nCr, digite o valor de k=8. depois de obter o valor, multiplique com o p=0,5 elevado a k=8 e o q elevado a 12.



Exercício 4

Uma prova tipo teste tem 50 questões independentes. cada questão tem 5 alternativas. Apenas uma das alternativas é a correta. Se um aluno resolve a prova respondendo a esmo as questões, qual é a probabilidade de tirar nota 5 ?

Essa questão é um grande quebra cabeça das galaxias,mas vamos lá:

A primeira coisa a fazer é saber o número total do experimento(n) que neste caso vai ser o número total de questões n=50.

A Segunda coisa a saber é a probabilidade de sucesso(p)que neste caso vai ser p=1/5, sabe porquê? supondo que a galera do bonde da stella vai fazer uma prova. Só terá sucesso(acerto)em uma das 5 alternativas existentes...do mesmo jeito ,se fosse 2 alternativas corretas a probabilidade seria de p=2/5. Já que p=1/5 o q=1-1/5=4/5.

O nosso número de sucessos(k)vai ser k=25, porque se a gente fosse calcular a probabilidade para tirar nota 10 séria k=50(acertando todas as questões), mas como o nosso objetivo é calcular nota 5(metade das questões)o nosso k vai ser igual a 25.

Resumindo:n=50, k=25, p=1/5 e q=4/5

Suponha que a probabilidade de um casal ter um filho com cabelos loiros seja 1/4.Se houverem 6 crianças na família , qual é a probabilidade de que metade delas tenham cabelos loiros.

Solução

Cara, para resolver esse trem, a gente precisa entender o seguinte :

-A probabilidade de sucesso é p=1/4 então , q=1-p=3/4;

-o número de vezes que a pergunta pede quer que ocorra o sucesso k,ou seja,o que a gente quer saber é a metade das 6 crianças então,k=6/2=3.

Resumindo:n=6,p=1/4,q=3/4 e k=3

Substituindo na fórmula , teremos:

Continuando...

Exercício 6

Um engenheiro de inspeção extrai uma amostra de 15 itens aleatoriamente de um processo de fabricação sabendo que produz 85% de itens aceitáveis.

Qual é a probabilidade de que 10 dos itens extraídos sejam aceitáveis ? 

Vamos entender o seguinte :

-A probabilidade de sucesso é p=0,85 então , q=1-p=0,15;

-o número de vezes que a pergunta pede quer que ocorra o sucesso k,ou seja,o que a gente quer saber é a probabilidade dos 10 itens serem aceitáveis então: k=10.

Resumindo:p=0,85,q=0,15 ,k=10 e n=15.

Substituindo na fórmula , teremos:

Exercício 7

A probabilidade de que um carro , indo de São Paulo a Lins tenha, no decorrer da viagem , um pneu furado é 0,05. Achar a probabilidade de que entre 10 carros ,indo todos de São Paulo a Lins exatamente um carro tenha um pneu furado .

Solução

Para qualquer tipo de exercício que fala de distribuição binomial ,a primeira coisa a fazer é achar o número total(n) da situação que a gente tá resolvendo que neste caso vai ser n=10 carros.

-Se a nossa probabilidade de um pneu furar é p=0,05 então q=1-p=0,95.

-agora vamos responder uma pergunta, o que a gente deseja calcular ? a gente deseja calcular a probabilidade de que exatamente um carro tenha um pneu furado então : k=1.

Resumindo : n=10,p=0,05,q=0,95 e k=1.

Fórmula

Solução

Este é um binômio distribuição, pois há apenas dois resultados (o paciente morre, ou não).

Deixe X = número que recuperar.

Aqui, n = 6 , x =4 , p = 0. 2 5 (sucesso, ou seja, eles vivem), q = 0. 7 5 (falha, ou seja, eles morrem).

A probabilidade de que 4 consigam se recuperar:

Resumindo : n = 6 ,k=4 ,p=0,25 e q = 0,75

Substituindo os valores , vem :

Continuando ...

Exercício 9

Uma fabricante de pistões de metal que se encontra em São Paulo-BR ,tem em média 12% de seus pistões  rejeitados porque são ou acima ou abaixo. Qual é a probabilidade de que em um lote de 10 pistões contenha  não mais do que 2 rejeições?  

Solução 

Seja n=10 ( total de pistões ) , q=0,88, p=0,12 teremos :

Como as rejeições não podem passar de duas ,significa que vamos calcular a probabilidade para nenhuma rejeição, uma rejeição e duas rejeições e posteriormente fazer o somatório.

Cálculo da probabilidade para nenhuma rejeição

Substituindo

Cálculo da probabilidade para uma rejeição

Cálculo da probabilidade para duas rejeições

Então ,a probabilidade de conseguir não mais do que 2 rejeições será :

Substituindo os valores , vem que :

Assim, a probabilidade para obter não mais do que duas rejeições é de 0,89131 ou 89,31%

Exercício 10

Num teste tipo certo/errado, com 50 questões, qual é a probabilidade de que um aluno acerte 80% das questões, supondo que ele as responda ao acaso  ?

Solução

Cada resposta tem probabilidade de sucesso 0,50, porque estamos perante um exercício certo/errado. Desse modo, o número de respostas corretas(x), tem distribuição binomial com n = 50 e p = 0,50. 

Acertar 80% das questões significa: 0,8*50 = 40 questões  que vai ser o nosso k .

Resumindo : n=50, k=40,p=0,5, q=0,5

Também pode resolver pela calculadora 

Questão 1

Uma moeda não viciada é lançada 6 vezes . Determine :

a) A probabilidade de exatamente duas caras ocorrerem

b) A probabilidade de ocorrerem pelo menos 4 caras

Questão 2

Um time D tem 2/3 de probabilidade de vitória sempre que joga . Se esse time disputar 4 partidas ,encontre a probabilidade desse time vencer :

a) pelo menos uma partida .

b) mais que a metade das partidas
SOLUÇÃO

Sê forte e corajoso

Qual é a probabilidade de sair coroa três vezes?

Qual é a probabilidade de 3 caras em 5 lançamentos de uma moeda não viciada?

Qual a probabilidade de no lançamento de uma moeda o resultado ser Coroa?