Qual a probabilidade de ao lançar uma moeda é o resultado ser cara?

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O resultado obtido no lançamento de uma moeda não interfere no resultado do lançamento das outras moedas. São eventos independentes.

A probabilidade de obtermos duas coroas no lançamento de duas moedas é 1/4 ou 25%:

No caso de três coroas no lançamento de três moedas é 1/8 ou 12,5%:

E finalmente no caso de quatros coroas/moedas é 1/16 ou 6,25%:

Como você já deve ter notado, a cada moeda acrescentada, a probabilidade de que todos lançamentos resultem em coroa (ou também em cara), é dividida por 2.

Observe que na ocorrência de um evento e de outro, multiplicamos a probabilidade da ocorrência de um, pela probabilidade da ocorrência do outro.

Agora vamos analisar este outro problema onde queremos que os resultados sejam obtidos em uma certa ordem:

Apenas para nos situarmos, na tabela acima este é evento de número 4:

Como a probabilidade de ocorrer k e também de ocorrer c no lançamento de cada moeda é igual a 1/2, então a probabilidade de obtermos k, k, c e c é igual a:

Na tabela acima observamos que nos eventos 4, 6, 7, 10, 11 e 13 temos a ocorrência desta combinação.

Logo, a probabilidade é de 3/8 ou 37,5%:

O primeiro evento onde temos a ocorrência de duas caras (e também de duas coroas) é o de número 4:

Veja que este evento difere dos eventos 6, 7, 10, 11 e 13 apenas pela posição das moedas. Em outras palavras, estes outros eventos são permutações do quarto evento:

Para calcularmos o número de permutações, como temos ocorrências repetidas de caras e de coroas, temos que realizar o cálculo da permutação com elementos repetidos e não o cálculo da permutação simples:

Agora para identificarmos a probabilidade de obtermos duas caras no lançamento de quatro moedas, basta multiplicarmos por 6, a probabilidade da ocorrência do evento 4, que como vimos no exemplo anterior, é igual a 1/16 ou 6,25%:

Neste caso quando temos 2 caras nunca teremos 3 coroas e vice-versa. Assim, basta somarmos a probabilidade de obtermos duas caras com a probabilidade de obtermos três coroas.

A probabilidade de obtermos duas caras no lançamento de quatro moedas, como vimos no exemplo anterior, é igual a 3/8 ou 37,5%.

Vamos então calcular a probabilidade de obtermos três coroas no lançamento de quatro moedas.

Veja que no evento número 8 temos três coroas:

Então para calcularmos a probabilidade de obtermos três coroas no lançamento de quatro moedas precisamos calcular o número permutações das moedas deste evento.

Como há repetições (três coroas), o cálculo será:

Ou seja, há 4 variantes do evento 8 nas quais temos 1 cara e 3 coroas, que são os eventos abaixo:

Logo, a probabilidade de obtermos três coroas no lançamento de quatro moedas é de:

Agora basta somarmos as probabilidades:

Apenas para que você possa conferir mais facilmente, veja que abaixo temos os dez eventos da tabela, dos dezesseis possíveis, que resultam na probabilidade de 62,5% de obtermos duas caras ou três coroas no lançamento de quatro moedas:

Mais abaixo você verá que a solução deste problema pode ser obtida sem recorrermos à tabela acima e sem realizarmos um cálculo sequer, mas a despeito disto, vamos solucioná-lo tanto recorrendo à tabela, quanto através de cálculos.

Na referida tabela temos 11 eventos nos quais há ao menos duas caras:

E logicamente há 11 eventos nos quais temos ao menos duas coroas:

Note também que 6 dos eventos são comuns aos dois casos. São eles os eventos:

Estes são os eventos nos quais temos ao menos duas caras e ao mesmo tempo ao menos duas coroas, pois como podemos observar, nestes eventos temos exatamente duas caras e duas coroas.

Os eventos comuns devem ser subtraídos para que não sejam somados em dobro, visto que na verdade totalizam 16 eventos e não 22. Então a probabilidade será:

Como podemos constatar, a probabilidade de obtermos ao menos duas caras ou ao menos duas coroas é de 100%, pois com quatro moedas, quando tivermos menos de duas caras teremos mais de duas coroas e vice-versa, o que satisfaz as condições da questão. As condições também serão satisfeitas quando tivermos exatamente duas moedas de cada. Portanto, as condições serão sempre satisfeitas, resultando em uma probabilidade de 100%.

Para verificarmos esta probabilidade através de cálculos, vamos somar as probabilidades das várias possibilidades, muitas das quais já analisamos acima.

Qual a probabilidade de ao lançar uma moeda é o resultado ser cara?

Qual é a probabilidade de obter cara no 1 lançamento?

Qual a probabilidade de dar cara ou coroa?

Qual a probabilidade de ocorrer cara em apenas uma das moedas?