Forma diferencial da lei de Joule

Um resistor é um dispositivo que transforma a energia elétrica integralmente em calor. Podemos dizer então que o resistor dissipa a energia elétrica que recebe do circuito. Assim, a potência elétrica consumida por um resistor é dissipada.
Como sabemos, essa potência é dada por:

P = U.i (I)

Onde:
U – é a diferença de potencial (ddp)
i – é a intensidade de corrente elétrica
P – é a potência dissipada

Pela lei de Ohm:

U = R.i (II)

Onde R é a resistência elétrica do resistor.

Substituindo (II) em (I), temos:

P = (R . I) . i → P = R . i2

A energia elétrica transformada em energia térmica, ao fim de um intervalo de tempo ∆t, é dada por:

Essa fórmula traduz a lei de Joule, que pode ser enunciada da seguinte forma:

“A energia elétrica dissipada em um resistor, num dado intervalo de tempo ∆t, é diretamente proporcional ao quadrado da intensidade de corrente que o percorre.”

Sendo

Podemos então concluir que, quando a ddp é constante, a potência elétrica dissipada em um resistor é inversamente proporcional à sua resistência elétrica.

Exemplo

Em 0,5 kg de água contida em um recipiente, mergulha-se, durante 7 min, um resistor de resistência elétrica 2 Ω.
Dados: calor específico da água 1 cal/g ºC e 1 cal = 4,2 J.
Se o resistor é percorrido por uma corrente elétrica de 5 A, calcule a elevação da temperatura da água, supondo que não haja mudança de estado.

Solução
O resistor transforma a energia elétrica integralmente em calor, aquecendo a água.

Assim, temos:

Eel = Q

Sabemos que:

Eel = P.∆t    e    Q = m . c . ∆T

Daí:
P.∆t = m . c . ∆T
R.i2. ∆t = m . c . ∆T

Os dados fornecidos pelo problema são:
R = 2 Ω
i = 5 A
∆t = 7min = 420 s
m = 0,5 kg = 500 g
c = 1 cal/g ºC = 4,2 J/g ºC

Substituindo os dados na equação:

R . i2.∆t = m . c . ∆T

2 . 52 . 420 = 500 . 4,2 . ∆T

∆T =

500 . 4,2

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Na física, e em particular na termodinâmica, as duas leis de Joule, afirmadas pelo físico inglês James Prescott Joule, são duas leis que descrevem o comportamento dos gases. O gás ideal atende às duas leis de Joule. Eles descrevem apenas de forma muito aproximada o comportamento dos gases reais.

A primeira lei de Joule, e a lei de Joule e Gay-Lussac (referindo-se a Joseph Louis Gay-Lussac ), afirma que a energia interna de um gás depende apenas da temperatura. A segunda lei de Joule ou lei de Joule-Thomson (referindo-se a William Thomson (Lord Kelvin) ) afirma que a entalpia de um gás depende apenas da temperatura. Essas leis são válidas apenas para uma quantidade constante de matéria.

Primeira lei de Joule

Declaração da primeira lei de Joule

A primeira lei de Joule, e a lei de Joule e Gay-Lussac, afirmam que, em quantidade de constante material  :

Primeira lei de Joule ou lei de Joule e Gay-LussacUm gás segue a primeira lei de Joule quando sua energia interna depende apenas da temperatura.

Matematicamente, isso implica que o diferencial da energia interna do gás pode ser escrito, para uma quantidade constante de matéria, na forma:

com:

Seja a quantidade de matéria envolvida na transformação e a capacidade térmica isocórica molar  ; nos tambem temos:

Seja a massa de matéria envolvida na transformação e a massa isocórica com capacidade térmica; nos tambem temos:

Formulação matemática da primeira lei de Joule

Para uma transformação termodinâmica reversível, na qual atuam apenas as forças de pressão , o diferencial da energia interna pode ser escrito em geral, com uma quantidade constante de matéria, na forma:

com:

O diferencial de entropia pode ser expresso em função dos coeficientes calorimétricos, para uma quantidade constante de matéria  :

com:

Podemos, portanto, reescrever o diferencial interno de energia na forma:

Essa relação é verdadeira qualquer que seja a natureza do sistema termodinâmico considerado. Nós temos :

A primeira relação de Clapeyron dá:

Um gás segue a primeira lei de Joule se sua energia interna depende apenas da temperatura, com uma quantidade constante de matéria  ; sua energia interna, portanto, não depende do volume:

Consequentemente, para um gás de acordo com a primeira lei de Joule:

1. ,
2. .

Se mostrarmos a primeira relação, teremos a segunda e vice-versa.

Por outro lado, como o diferencial de é exato, o teorema de Schwarz permite escrever:

Assim, para um gás de acordo com a primeira lei de Joule, a capacidade térmica isocórica não depende do volume. Por outro lado, depende da quantidade de material e da temperatura.

Relaxamento de Joule e Gay-Lussac

Experimentalmente, verificamos que um gás segue a primeira lei de Joule se sua temperatura não muda na expansão de Joule e Gay-Lussac . Essa expansão é uma expansão com energia interna constante, realizada pela alteração do volume do gás.

Na verdade, tomando o diferencial da energia interna, com uma quantidade constante de matéria  :

verifica-se que numa expansão isoenergética, seja, se a temperatura não varia, seja, enquanto varia o volume, seja, então .

Por outro lado, definimos o coeficiente Joule-Gay-Lussac por:

Se obtivermos experimentalmente, o gás satisfaz a primeira lei de Joule. Na verdade, se escrevermos o diferencial da temperatura daquela da energia interna:

temos :

Então, se sim .

Segunda lei de Joule

Declaração da segunda lei de Joule

A segunda lei de Joule ou lei de Joule-Thomson, afirma que, em quantidade de constante material  :

Segunda lei de Joule ou lei de Joule-ThomsonUm gás segue a segunda lei de Joule quando sua entalpia depende apenas da temperatura.

Matematicamente, isso implica que o diferencial da entalpia do gás pode ser escrito, para uma quantidade constante de matéria, na forma:

com:

Seja a quantidade de matéria envolvida na transformação e a capacidade térmica isobárica molar  ; nos tambem temos:

Seja a massa da matéria envolvida na transformação e a massa isobárica com capacidade térmica; nos tambem temos:

Formulação matemática da segunda lei de Joule

Para uma transformação termodinâmica reversível, na qual apenas a força de pressão trabalhando, o diferencial da entalpia pode ser escrito geralmente em quantidade de constante de material na forma:

com:

O diferencial de entropia pode ser expresso em função dos coeficientes calorimétricos, para uma quantidade constante de matéria  :

com:

Podemos, portanto, reescrever o diferencial de entalpia na forma:

Essa relação é verdadeira qualquer que seja a natureza do sistema termodinâmico considerado. Nós temos :

A segunda relação de Clapeyron dá:

Um gás segue a segunda lei de Joule se sua entalpia depende apenas da temperatura, com uma quantidade constante de matéria  ; sua entalpia, portanto, não depende da pressão:

Consequentemente, para um gás de acordo com a segunda lei de Joule:

1. ,
2. .

Se mostrarmos a primeira relação, teremos a segunda e vice-versa.

Por outro lado, como o diferencial de é exato, o teorema de Schwarz permite escrever:

Assim, para um gás de acordo com a segunda lei de Joule, a capacidade térmica isobárica não depende da pressão. Por outro lado, depende da quantidade de material e da temperatura.

Relaxamento Joule-Thomson

Experimentalmente, verificamos que um gás segue a segunda lei de Joule se sua temperatura não muda em uma expansão de Joule-Thomson . Esta expansão é uma expansão de entalpia constante, efetuada por uma mudança na pressão do gás.

Na verdade, tomando novamente o diferencial da entalpia, com quantidade constante de matéria  :

verifica-se que numa expansão isentálpica, quer, se a temperatura não varia, quer, enquanto varia a pressão, ou, então .

Por outro lado, definimos o coeficiente de Joule-Thomson por:

Se obtivermos experimentalmente, o gás satisfaz a segunda lei de Joule. Na verdade, se escrevermos o diferencial de temperatura da entalpia:

temos :

Então, se sim .

Gás verificando as leis de Joule

Caso de gases ideais

No caso de um gás ideal correspondente à equação do gás ideal  :

com:

temos, para uma quantidade constante de matéria  :

Consequentemente :

O inverso não é verdadeiro: qualquer gás que satisfaça as duas leis de Joule não é necessariamente um gás ideal.

Outros gases

Qualquer gás que satisfaça as duas leis de Joule verifica:

é :

Este sistema de equações diferenciais tem como solução:

com uma constante qualquer que pode ser diferente da constante universal dos gases ideais .

Demonstração

Reorganizamos as duas equações diferenciais de acordo com:

A solução da primeira equação diferencial é da forma:

onde é uma função de apenas. Injetamos esta solução na segunda equação:

Temos, portanto, ao injetar a expressão de  :

A solução está na forma:

é :

com qualquer constante.

Resolvemos o sistema de equações com uma quantidade constante de matéria, mas devemos introduzi-lo na equação de estado. Sabemos que o volume é uma variável extensa  : a pressão e temperatura constantes se a quantidade de matéria aumenta o volume aumenta proporcionalmente, o que só pode ser verificado escrevendo:

com qualquer constante.

Qualquer gás cuja equação de estado seja da forma, com qualquer constante, responde às duas leis de Joule. Por outro lado, qualquer gás que atenda às duas leis de Joule tem uma equação de estado da forma, com qualquer constante. Consequentemente :

Para que o gás seja um gás ideal, é necessário, além da verificação das duas leis de Joule, conhecer um ponto que possibilite determinar essa constante . Se, por exemplo, em condições normais de temperatura e pressão (CNTP: pressão 1 atm e temperatura 0 ° C ) o volume molar desse gás é 22,414 l, então o gás é um gás ideal . Se, nestas condições, o volume molar é diferente de 22,414 l, em seguida, e o gás não é um ideal de gás.     

Notas e referências

1. ↑ um e b Leis de Joule, Enciclopédia Universalis .
2. ↑ Livro Verde da União Internacional de Química Pura e Aplicada (IUPAC), p.  57
3. ↑ Curso de Termodinâmica, Olivier Perrot, IUT de Saint-Omer Dunkerque, Departamento de Engenharia Térmica e Energia, p.  30

Veja também

Bibliografia

• Jean-Pierre Corriou, Chemical Thermodynamics: Definitions and Fundamental Relations, vol.  J 1025, Técnicas de engenharia, col.  «Base documental: Termodinâmica e cinética química, Pacote de operações unitárias. Engenharia de reação química, universo químico - bio - agro processo  »,1984( leia online ), p.  1-19.

Link externo

• J.-Ph. Qadri (Académie de Bordeaux), "  T4 - Apêndice 1 - Detenções de Joule - Equilíbrios de energia e entropia  " [PDF], em webetab.ac-bordeaux.fr (consultado em 30 de abril de 2021 ) , p.  2-3.

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