Exercícios Resolvidos de Teorema de Bayes
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Uma urna contém 3 moedas onde uma tem duas caras, outra é uma moeda justa, e a terceira é uma moeda viciada com probabilidade de cara igual a 0,75. Uma moeda é selecionada aleatoriamente da urna e lançada uma vez, tendo se observado o resultado cara. Qual a probabilidade da moeda escolhida ter duas caras?
Passo 1
Hmmm... Temos um evento que já aconteceu (o lançamento de uma moeda e seu resultado cara), e queremos “voltar no tempo” e descobrir se essa moeda lançada foi a moeda que tinha duas caras. Isso tá com cara de que mesmo? Teorema de Bayes!
Lembrando a fórmula dele:
P A B = P ( B | A ) × P ( A ) P ( B )
Mas antes de aplicar valor nessa fórmula, bora organizar a notação dos eventos que vamos usar nessa resolução:
M 2 K : M o e d a l a n ç a d a s e r a c o m 2 c a r a s
M J : M o e d a l a n ç a d a s e r a j u s t a
M V : M o e d a l a n ç a d a s e r a v i c i a d a
K : S a i r u m a c a r a n o l a n ç a m e n t o
Então o que a questão tá pedindo pra gente é:
P ( M 2 K | K )
A probabilidade de a moeda lançada ter sido a com duas caras, sabendo que o resultado do lançamento foi cara! Aplicando isso aí na fórmula do Teorema de Bayes:
P M 2 K K = P ( K | M 2 K ) × P ( M 2 K ) P ( K )
Vamos precisar descobrir quem são essas probabilidades aí na fração pra descobrir nossa condicional de interesse então. Vem comigo!
Passo 2
Passo 3
Começando por:
P ( K | M 2 K )
Que nada mais é que a probabilidade de termos cara como resultado, dado que a moeda lançada é a moeda com duas caras. Opa! Se só tem cara na moeda, a probabilidade de sair uma cara dela é de 100%, certo? Então:
P K M 2 K = 1
E essa probabilidade aqui?
P M 2 K
A probabilidade de a moeda lançada ser a com duas caras. Como temos 3 moedas, a moeda com duas caras é 1 em um total de 3, ou seja:
P M 2 K = 1 3
E a probabilidade de termos cara como resultado?
P ( K )
Reparem que é a probabilidade de qualquer cara acontecer, ou seja, a cara pode ser proveniente de qualquer uma das 3 moedas! Vamos fazer um diagrama pra enxergar melhor como calcular isso:
E vamos completar as linhas pretas desse diagrama com a probabilidade do evento que está ao final dessa linha acontecer, assim ó:
Tranquilin? Lembrando que essas probabilidades em verde são as condicionais!
- Cada moeda tem 1 / 3 de chance de ser escolhida
- Moeda com duas caras tem 100% de chance de dar cara
- Moeda justa tem 50% de chance pra cada lado
- Moeda viciada tem 75% de chance de dar cara, e 25% de chance de dar coroa
Agora, para calcular a probabilidade de obtermos uma cara, independente de qual moeda foi escolhida, vamos fazer:
P K = P M 2 K × P K M 2 K + P M J × P K M J + P ( M V ) × P ( K | M V )
E olhando pro nosso diagrama, podemos substituir essa galera pelos seus respectivos valores:
P K = 1 3 × 1 + 1 3 × 0,5 + 1 3 × 0,75 = 0,75
Passo 4
E finalmente, podemos substituir todas as probabilidades calculadas na fórmula do Teorema de Bayes:
P M 2 K K = P ( K | M 2 K ) × P ( M 2 K ) P ( K )
P M 2 K K = 1 × 1 / 3 0,75 = 0,4444
Resposta
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RKA10E Vamos novamente começar nosso vídeo jogando uma moeda honesta. Moeda... honesta. Mas desta vez, ao invés de lançar 4 vezes, vamos fazer 5 lançamentos. 5... lançamentos. Como todo vídeo de moeda, a gente vai chamar "k" de cara e "c" de coroa, ok? E o que quero pensar neste vídeo é sobre a probabilidade de conseguir exatamente... exatamente 3 caras. E a melhor maneira de começar a pensar é contando todas as possibilidades equiprováveis que existem. Então se eu fizer meu primeiro lançamento, vou ter 2 possibilidades para ele, pode ser cara ou coroa. Para o segundo lançamento, também há 2 possibilidades, para o terceiro, 2 possibilidades, para o quarto, 2 possibilidades e para o quinto, 2 possibilidades. Então tenho 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2, ou seja, 2 vezes 2 dá 4, 4 vezes 2 dá 8, 8 vezes 2 dá 16, 16 vezes 2 dá 32 possibilidades equiprováveis, ok? Equiprovável é que tem a mesma probabilidade de acontecer. E agora basta ver quantas dessas 32 possibilidades têm exatamente 3 caras. Eu poderia muito bem listar todas essas 32 e contar quantas são as que têm exatamente 3 caras, o que daria certo, sem problema nenhum. Mas vou tentar usar aquela técnica que a gente começou a ver no vídeo passado. A gente vai fazer 5 lançamentos, deixe-me desenhar os lançamentos: 1, 2, 3, 4, 5 lançamentos. E nesses 5 lançamentos vou querer 3 caras, deixe-me desenhar aqui. Então vou ter a "Kₐ", a "Kь" e a "Kc", só para dar nomes, até porque a gente vai ver neste vídeo mesmo que não quero diferenciar essas coisas. Por exemplo, se eu tiver os lançamentos nesta ordem: "Ka", "Kb", "Kc", "c", "c" e, então, "kc", "ka", "kb", "c", "c", a gente não pode considerar isso como 2 coisas diferentes. Para mim, esta organização tem que ser igual à organização de baixo. Primeiro, a gente vai contar como se eu me importasse com a ordem que "a", "b" e "c" estariam e depois a gente vai dividir pelo número de vezes que eles podem trocar de lugar entre eles, pelo número de permutações que esses 3 objetos fazem. Vamos contar de quantas maneiras eu consigo distribuir essas 3 caras nestes 5 espacinhos que estou representando os meus lançamentos. Se esses 5 espacinhos estão vazios, então a nossa "Ka" poderia estar em qualquer um desses 5 espaços. Portanto, eu tenho 5 possibilidades de espacinhos para colocar minha "Ka". Vamos supor que "Ka" preencheu este espacinho. Para a minha "Kb", então, me sobram 1, 2, 3, 4 espaços, 4 possibilidades de escolha. Para a "Kb" são 4 possibilidades. Ela poderia ficar em qualquer um desses espacinhos, mas vamos imaginar que ela veio sentar justamente aqui. E agora que essas 2 caras ocuparam 2 espacinhos, me sobraram 3 espaços apenas para minha "Kc". Digamos que ela ocupou esse espacinho aqui, "Kc". Levando em consideração a ordem, de quantas maneiras a gente consegue colocar 3 caras em 5 desses espaços? A gente pode dizer que vai ser 5 vezes 4 vezes 3, 5 vezes 4 é 20 que, vezes 3, vão ser 60 as maneiras que a gente pode fazer essa distribuição, se levarmos em consideração a ordem, é claro. Mas é óbvio que não são 60 as coisas que quero contar, afinal são 32 possibilidades no total. E o motivo para ter dado um número tão alto assim é porque estou contando essa possibilidade como sendo uma coisa totalmente diferente caso eu tivesse a seguinte distribuição: imaginando que "Ka" estivesse nessa posição, a "Kb" nessa posição aqui e a "Kc", aqui. Então temos 60 porque estou considerando isso diferente disso e o que a gente precisa fazer é imaginar que essas 2 possibilidades são como uma coisa só. Na verdade, considerar uma coisa só todas as maneiras que eu posso trocar essas 3 coisas de lugar entre elas, todas as maneiras em que posso fazer a permutação entre esses 3 elementos. Então tudo que eu tenho que fazer é dividir pelo número de possibilidades que posso permutar esses 3 elementos. Vamos contar de quantas maneiras eu consigo permutar essas 3 coisas. Se eu tenho "a", "b" e o "c" e quero fazer a permutação entre eles, ou seja, trocá-los em 3 lugares. Para "Ka", vou ter 3 possibilidades de espaço. Uma vez que uma já tomou o seu lugar, me sobram 2 possibilidades para "b" e uma possibilidade apenas para "c". O número de maneiras que eu permuto 3 coisas vai ser 3 vezes 2 vezes 1, que é igual a 6 maneiras. Portanto, 6 é o número de maneiras que essas caras trocam de lugar entre si. Calculando o número de possibilidades de exatamente 3 caras. Número de possibilidades, vamos abreviar. Como a gente já tinha dito, vai ser 5 vezes 4 vezes 3 dividido por 3 vezes 2 vezes 1. Novamente estou dividindo por 3 vezes 2 vezes 1 porque quero considerar essa distribuição de cima igual à distribuição de baixo, igual a qualquer outra distribuição em que eu troque esses carinhas de lugar entre eles. Aqui em cima, 5 vezes 4 vezes 3, o resultado é 60, dividido pelo 3 vezes 2 vezes 1, que é 6. Portanto, o resultado aqui é 10. Significa que eu tenho 10 possibilidades em que são exatamente 3 caras e 2 coroas de um total de 32 possibilidades. A probabilidade de termos exatamente 3 caras vai ser igual a 10, que é o que eu quero, dividido por 32, que é tudo que é possível acontecer. Simplificando, a gente tem 5 em 16 como chance, como probabilidade de ter exatamente 3 caras. Espero ter ajudado, pessoal. E até o próximo vídeo!