Em um pentágono, os ângulos internos estão em progressão Aritmética

Fuvest- 2ªfase

Em um pentágono convexo os ângulos internos formam uma progressão aritmética.

a) Determine um desses ângulos. 
b) Mostre que todos os ângulos são maiores que 36°.

não consegui fazer o B, alguém pode ajudar?

mariEstrela Dourada

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Re: Fuvest- 2ªfase

 por laurorio Ter 05 Abr 2016, 09:49

(x-2r , x-r, x , x+r , x+2r)

A soma dos termos da PA é igual a soma dos ângulos interno do pentágono convexo.

Si = 540º
(x-2r + x-r+ x + x+r + x+2r) = 540 ---> x = 108º

Na letra b vamos supor que se tenha um ângulo de 36º no pentágono convexo...

108-2r = 36
r = 36

( 36, 72 , 108 , 144, 180 ) ---> perceba que aparece um ângulo de 180º, o que é absurdo, pois o pentágono é convexo. Assim, todos os ângulos devem ser maiores que 36º.

 

Re: Fuvest- 2ªfase

 por mari Ter 05 Abr 2016, 10:02

mariEstrela Dourada

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Pentágono

1) Os ângulos de um pentágono não regular estão em progressão aritmética de razão 12º. A medida do maior dos ângulos desse pentágono é :

a) 60º
b) 72º
c) 90º
d) 108º
e) 120º

Gostaria de saber a resolução
desde ja obrigado

leo2008 Mensagens: 107Registrado: Domingo Abr 24, 2011 7:45 pm

Re: Pentágono

por ivomilton » Segunda Fev 20, 2012 2:29 pm

leo2008 escrito:1) Os ângulos de um pentágono não regular estão em progressão aritmética de razão 12º. A medida do maior dos ângulos desse pentágono é :

a) 60º
b) 72º
c) 90º
d) 108º
e) 120º

Gostaria de saber a resolução
desde ja obrigado

Boa tarde, Leo.

Encontrei resposta diferente; veja:
x = o menor dos ângulos
S[pent] = x + x+12° + x+24° + x+36° + x+48° = 5x + 120° = 540°
5x = 540° - 120°= 420°
x = 420°/5 = 84°

Maior ângulo = x + 48° = 84° + 48° = 132°

Conferindo:
84° + 96° + 108° + 120° + 132°= 540°
Dividindo-se um pentágonos obtemos 3 triângulos; e 3*180°= 540°.

Um abraço.

Vinde a mim todos os que estais cansados e oprimidos e eu vos aliviarei. Tomai sobre vós o meu jugo e aprendei de mim que sou manso e humilde de coração e achareis descanso para a vossa alma porque o meu jugo é suave e o meu fardo e leve. Mt 11:28-30

ivomilton Mensagens: 7733 Registrado: Sábado Out 03, 2009 4:09 pm

Re: Pentágono

por Helio Carvalho » Segunda Fev 20, 2012 3:49 pm

Os ângulos de um pentágono não regular estão em progressão aritmética de razão 12º. A medida do maior dos ângulos desse pentágono é :
A soma dos ângulos do pentágono regular é 540. Logo, na sequência, o ângulo que está no meio é 540/5 = 108
Assim, 108 + 12.2 = 132
o primeiro é 108 - 2.12 = 84
o segundo é 108 - 12 = 96
o terceiro é 108
o quarto é 108 + 12 = 120
o quinto é 108 + 2.12 = 132

Helio Carvalho Mensagens: 2263Registrado: Sexta Set 04, 2009 3:26 pmLocalização: Varginha, MG

Re: Pentágono

por Betok » Segunda Fev 20, 2012 5:18 pm

Essa questão pode ser resolvida da seguinte maneira:

A soma dos ângulos internos de um pentágono regular é igual a 540.

Então:

Sn = [(a1 + an) . n]/2
540 = 5(a1 + an)/2
a1 + an = 1080/5 = 216

logo, a1 = 216 - an

Portanto:

an = a1 + (n - 1)r
an = 216 - an + 4 . 12
2an = 264
an = 132 (está é o maior ângulo deste pentágono)

Betok Mensagens: 388Registrado: Terça Fev 14, 2012 12:17 pm

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