Um polígono é uma figura geométrica formada por segmentos de reta. Essa figura é fechada e nenhum desses segmentos de reta encontra-se a não ser em suas extremidades. Quando o polígono é convexo, é possível descobrir a soma dos seus ângulos internos sem ter que medi-los. Isso é feito por meio de uma fórmula matemática.
Polígono convexo
Um polígono é convexo quando o segmento de reta cujas extremidades são pontos do interior do polígono está inteiramente dentro dele. Em outras palavras, alguns polígonos possuem uma espécie de “boca”, de modo que é possível escolher dois de seus pontos e ligá-los por um segmento de reta que não está inteiramente dentro do polígono. Esses são os chamados não convexos.
Observe a imagem a seguir que mostra um polígono convexo à esquerda e um não convexo à direita.
Soma dos ângulos internos
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°. Tendo isso em mente, podemos pensar em dividir os polígonos convexos em triângulos. Se um polígono pode ser dividido em três triângulos, por exemplo, a soma dos seus ângulos internos é igual a 3 vezes 180.
Para tanto, é preciso criar uma divisão em que a soma dos ângulos dos triângulos seja igual à soma dos ângulos dos polígonos.
É fácil ver que, se escolhermos um vértice de um polígono, as suas diagonais formarão triângulos que cumprem esse pré-requisito. Observe a imagem a seguir:
Essa figura é um hexágono. Repare que, partindo de um mesmo vértice, é possível dividi-lo em quatro triângulos. Para qualquer figura, sempre será possível encontrar n – 3* diagonais partindo do mesmo vértice e, consequentemente, serão formados n – 2* triângulos nesse processo (*n = número de lados do polígono).
Como já foi dito, a soma dos ângulos internos de um polígono é igual ao número de triângulos formados dentro dele multiplicado por 180°. Logo, a soma dos ângulos internos de um polígono convexo é:
S = (n – 2)180°
Exemplos:
Qual a soma dos ângulos internos de um icoságono convexo?
Os icoságonos são polígonos que possuem 20 lados. A soma dos ângulos internos é:
S = (n – 2)180
S = (20 – 2)180
S = 18·180
S = 3280°
Qual é a medida de cada ângulo interno de um icoságono regular?
Polígonos regulares possuem ângulos congruentes. Assim, já sabendo que a soma dos ângulos internos do icoságono é 3280°, cada ângulo dele é igual a:
3280
= 162°
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Por Luiz Paulo Moreira
Graduado em Matemática
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peças foram colocadas em torno de cada vértice? Triângulo Quadrado Pentágono Hexágono Octógono Decágono 3 Com o transferidor, determine as medidas dos ângulos internos de cada um dos seis tipos de polígonos regulares e registre-as na tabela. Em seguida, recorte os nove polígonos do Anexo 3. 4 Junte suas peças com as dos outros colegas. Tentem, juntos, montar um recobrimento usando as peças com o formato de cada um dos seis tipos de polígonos (use apenas um tipo de polígono em cada tentativa). Sempre que as lajotas não ficarem sobrepostas, será possível fazer o recobrimento. Nesses casos, determine quantas peças devem ser colocadas em torno de cada vértice e registre esse número na tabela. 5 Observe a segunda e a terceira colunas de sua tabela. Qual condição você observa que deve ser satisfeita por um polígo- no regular para que as lajotas não fiquem sobrepostas? Justifique sua resposta. Se necessário, faça um desenho. Não é possível “fechar” o recobrimento, pois as lajotas não podem deixar falhas ou serem sobrepostas. Observe que, se não colocarmos a terceira lajota, teremos uma falha. Porém, se a colocarmos, ela ficará sobreposta a outra lajota. Observe a representação abaixo. Anglo_EF2_MAT_7ano_CAD2_20_431a441.indd 436 1/26/17 12:02 PM 8437 M a te m á ti c a Combinação de dois tipos de polígonos regulares O recobrimento de superfícies planas com polígonos é um problema bem interessante da Geometria relacionado a algumas situações do cotidiano. Nesta atividade, você vai novamente tentar recobrir uma superfície usando as peças com formato de polígonos regulares. Desta vez, porém, poderá usar dois tipos diferentes de polígonos regulares em cada tentativa. R O G E R IO C A V A L H E IR O /F U T U R A P R E S S Recobrimento da superfície da rua feito com serragem para procissão religiosa, realizada na cidade de Santana do Parnaíba, SP. 1 Com quais pares de polígonos você conseguiu recobrir toda a superfície sem que os polígonos ficassem sobrepostos? 2 Quando são usados dois tipos de polígonos regulares, a condição que você viu no item 5 da seção anterior para um único tipo de polígono é suficiente para que todo o plano seja recoberto? Explique sua resposta. Anglo_EF2_MAT_7ano_CAD2_20_431a441.indd 437 1/26/17 12:02 PM 8438 Ensino Fundamental EXERCÍCIO 3 Nos exercícios 1 e 2, registre o raciocínio utilizado. 1 Rafael construiu a figura ao lado usando o “kit mosaico”. Sabendo que em todo lo- sango os ângulos opostos têm medidas iguais, determine, sem usar o transferidor, a medida de cada ângulo interno do losango azul. 2 Rebeca fez a figura ao lado usando o “kit mosaico”. Determine, ainda sem usar o transferidor, a medida de cada ângulo interno do losango azul-claro. 3 Construa, usando régua e transferidor, um pentágono regular cujos lados medem 5 cm. Para fazer essa construção, siga as instruções: a) Partindo do ponto A dado a seguir, desenhe, com a régua, um segmento horizontal AB de medida 5 cm, de modo que o ponto B esteja à direita do ponto A. b) Agora, com régua e transferidor, desenhe o segmento BC, de medida 5 cm, de modo que o ângulo AB̂C meça 108°. c) De maneira semelhante ao que você fez no item b, desenhe os segmentos CD , DE e EA , todos medindo 5 cm, de modo a obter o pentágono regular ABCDE. A Utilize o fato de que cada ângulo interno de um pentágono regular mede 108°. Anglo_EF2_MAT_7ano_CAD2_20_431a441.indd 438 1/26/17 12:02 PM 8439 M a t e m á t i c a 1 A seguir são mostrados um triângulo, um quadrilátero, um pentágono e um hexágono, cada um com ângulos internos de medidas iguais. TESTE Entre esses polígonos, o único cuja medida dos ângulos externos é igual à medida dos ângulos internos é o: a) triângulo. b) quadrilátero. c) pentágono. d) hexágono. 2 O calçamento de uma rua é formado por losangos de mesmo tamanho e formato, diferindo apenas pela cor. S H U L T A Y B A L T A A Y /S H U T T E R S T O C K Os ângulos internos desses losangos medem a) 60°, 120°, 60° e 120°. b) 50°, 130°, 50° e 130°. c) 45°, 135°, 45° e 135°. d) 30°, 150°, 30° e 150°. 3 (Enem) Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com formato de polígonos para o reves- timento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras a seguir. Figura 2: Heptágonos regulares não pavimentam o plano (há falhas e superposição). Figura 1: Ladrilhos retangulares pavimentando o plano. 60° 60° 60° 108° 108° 108° 108° 108° 120° 120° 120° 120° 120° 120° Anglo_EF2_MAT_7ano_CAD2_20_431a441.indd 439 1/26/17 12:02 PM 8 440 Ensino Fundamental A tabela abaixo traz uma relação de alguns polígonos regulares com as respectivas medidas de seus ângulos internos. TriânguloNome Figura Quadrado Pentágono Hexágono Octógono Eneágono 60°Ângulo interno 90° 108° 120° 135° 140° Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter o formato de um a) triângulo. b) quadrado. c) pentágono. d) hexágono. e) eneágono. EM CASA 1 Em cada polígono representado a seguir, faça o que se pede. a) Determine, com o transferidor, a medida de cada ângulo interno. b) Calcule, sem o transferidor, a medida de cada ângulo externo. c) Represente adequadamente nas figuras cada medida encontrada. O R Q P B A E D C 2 Usando a régua e o transferidor, construa, em seu caderno, um triângulo que tenha dois ângulos internos medindo 40°. a) Usando o transferidor, determine a medida do terceiro ângulo interno desse triângulo. b) Sem usar o transferidor, calcule a medida de cada ângulo externo desse triângulo. 3 Os dois triângulos da figura a seguir têm todos os ângulos medindo 60°, e o quadrilátero azul é um quadrado. A B CD a) Calcule as medidas dos ângulos internos do quadrilátero ABCD. b) Classifique esses ângulos de acordo com sua medida. Anglo_EF2_MAT_7ano_CAD2_20_431a441.indd 440 1/26/17 12:02 PM 8441 M a t e m á t i c a 4 Cada ângulo interno de um polígono regular mede 156°. a) Quanto mede cada ângulo externo desse polígono? b) Quantos lados tem esse polígono, dado que a soma das medidas de todos os seus ângulos externos é 360°? 5 Usando dois decágonos regulares idênticos e dois pentágonos regulares também idênticos, Mila construiu a figura abaixo. Quais são as medidas dos ângulos a e b? b a Se necessário, consulte a tabela que você preencheu com as medidas de um ângulo interno de um pentágono regu- lar e de um decágono regular. 6 Sabendo que Clarice montou a figura abaixo com as peças do “kit mosaico”, calcule as medidas dos ângulos internos do trapézio vermelho. Registre seu raciocínio. 7 O polígono ABCDEFGHIJKL a seguir é um dodecágono regular, e o polígono ABGH é um retângulo. Calcule a medida do ângulo b. A B CL DK EJ F 30° I GH b 8 Anote no seu glossário, na letra P, a definição de polígono regular. Anglo_EF2_MAT_7ano_CAD2_20_431a441.indd 441 1/26/17 12:02 PM 8442 Ensino Fundamental OPERAÇÕES E PROBLEMAS COM NÚMEROS RACIONAIS21 1 No Módulo 13 você estudou como eliminar os parênteses em uma expressão, como a do exemplo abaixo, multiplicando os parênteses por 1. 3 2 (24) 5 3 2 1 ? (2 4) 5 3 1 4 5 7 Se na expressão houver parênteses temos duas opções: • resolver inicialmente as operações dentro dos parênteses para depois eliminá-los, ou • eliminar os parênteses aplicando a propriedade distributiva da multiplicação e, em seguida, realizar a adição algébrica resultante. Veja alguns exemplos: I) 26 2 (27 1 3 2 5) 5 26 2 (29) 5 26 1 9 5 13 II) 26 2 (27 1 3 2 5) 5 26 1 7 2 3 1 5 5 29 1 12 5 13 III) 25 1 (22 1 9 2 7) 5 25 1 (0) 5 25 1 0 5 25 IV) 25 1 (22 1 9 2 7) 5 25 2 2 1 9