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Lista de Exercícios – Matemática Assunto: Princípio Fundamental da Contagem Professora: Maria do Carmo Miranda 1) UECE/99) Quantos números ímpares, cada um com três algarismos, podem ser formados com os algarismos 2,3,4,6 e 7, se a repetição de algarismos é permitida? a) 60 b) 50 c) 40 d) 30 e)20 2) Obtenha o total de linhas telefônicas que podem ser instaladas, com o prefixo 497, se os números de telefones têm 8 algarismos. 3) Quantos números pares de 3 algarismos distintos, são possíveis utilizando os algarismos: 1, 3, 4, 5, 7, 8. ? 4) (UFC/2002) A quantidade de números inteiros, positivos e ímpares, formados por três algarismos distintos, escolhidos dentre os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, é igual a: a)320 b)332 c)348 d)360 e)384 � Um rapaz dispõe de 4 calças, 6 camisas e 3 pares de sapatos. Com estas peças, quantos conjuntos diferentes de calça, camisa e sapato ele pode formar para vestir-se? 5) Para a diretoria de uma firma concorrem 3 candidatos a presidente e 2 a vice-presidente. Quantas chapas podem ser formadas? 6) (UFAL/99) Com os elementos do conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} formam-se números de 4 algarismos distintos. Quantos dos números formados NÃO são divisíveis por 5? a) 15 b) 120 c) 343 d) 720 e) 840 7) Um salão possui 8 portas. Pergunta-se: a) quantas são as possibilidades de uma pessoa entrar no salão e sair dele? b) quantas são as possibilidades de uma pessoa entrar por uma porta e sair por outra diferente? 8) Uma bandeira deve ser formada por três faixas de cores diferentes escolhidas entre 12 cores diferentes. De quantas maneiras essa bandeira pode ser composta? 9) Quantos números de 3 algarismos começados por 1 podemos formar com os algarismos 1, 2, 4, 8 e 9? 10) (ITA/2001) Considere os números de 2 a 6 algarismos distintos formados utilizando-se apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Quantos destes números são ímpares e começam com um dígito par? a) 375 b) 465 c) 545 d) 585 e) 625 Quantos números pares de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 3, 5, 6, 7 e 8? 11) Dados os algarismos 1,3, 4, 7 e 8, pergunta-se: a) quantos números de 3 algarismos podemos formar? b) quantos números de 3 algarismos, iniciando por 8, podemos formar? c) quantos números de 3 algarismos, não iniciando por 4, podemos formar? d) quantos números de 3 algarismos distintos terminam por 3? 12) Numa cidade o número de telefone tem 6 algarismos. Determine: a) o número de telefones que podem ser formados, sabendo-se que os números não podem começar por zero; b) quantos telefones existem com prefixos 47; c) quantos telefones terminam por 3. 13) Um restaurante oferece no cardápio 2 saladas distintas, 4 tipos de pratos de carne, 5 variedades de bebidas e 3 sobremesas diferentes. Uma pessoa deseja uma salada, um prato de carne, uma bebida e uma sobremesa. De quantas maneiras a pessoa poderá fazer seu pedido? a)90 b)100 c) 110 d) 130 e)120 14) Maria deve criar uma senha de 4 dígitos para sua conta bancária. Nessa senha, somente os algarismos 1,2,3,4,5 podem ser usados e um mesmo algarismo pode aparecer mais de uma vez. Contudo, supersticiosa, Maria não quer que sua senha contenha o número 13, isto é, o algarismo 1 seguido imediatamente pelo algarismo 3. De quantas maneiras distintas Maria pode escolher sua senha? a) 551 b) 552 c) 553 d) 554 e) 555 15) No sistema de emplacamento de veículos que seria implantado em 1984, as placas deveriam ser iniciadas por 3 letras do nosso alfabeto. Caso o sistema fosse implantado, o número máximo possível de prefixos, usando-se somente vogais, seria: a)20 b)60 c) 120 d) 125 e) 243 16) Quantos números distintos entre si e menores de 30 000 tem exatamente 5 algarismos não repetidos e pertencentes ao conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}? a)90 b)120 c)180 d)240 e)300 17) (ITA) Determine quantos números de 3 algarismos podem ser formados com 1; 2; 3; 4; 5; 6 e 7; satisfazendo a seguinte regra: O número não pode ter algarismos repetidos, exceto quando iniciar com 1 ou 2; caso em que o 7 (e apenas o 7) pode aparecer mais de uma vez. Assinale o resultado obtido. a) 204 b) 206 c) 208 d) 210 e) 212
Problema
(A partir da 2ª série do E. M.- Nível de dificuldade: Difícil)
(UNICAMP, 2004) Considere o conjunto dos dígitos [tex]\{1, 2, 3, …, 9\}[/tex] e forme com eles números de nove algarismos distintos.
(a) Quantos desses números serão pares?
(b) Escolhendo-se ao acaso um dos
números do item (a), qual a probabilidade de que este número tenha exatamente dois dígitos ímpares juntos?
Lembrete
✐ Princípio Fundamental da Contagem, ou Princípio Multiplicativo, para [tex]k [/tex] eventos: Se
- um evento E1 puder ocorrer de [tex] m_1 [/tex] maneiras,
- um evento E2 puder ocorrer de [tex]m_2 [/tex] maneiras,
- [tex]\cdots[/tex]
- um evento Ek puder ocorrer de [tex]m_k [/tex] maneiras
e todos esses eventos forem independentes entre si, então a quantidade de maneiras em que os [tex]k[/tex] eventos ocorrem ao mesmo tempo é
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1\times m_2 \times \cdots \times m_k} \, .[/tex]
(Se você não se lembra desse Princípio, seria
interessante dar uma passadinha nesta Sala de Estudo.)
Solução
(a) Observe que os números pares que podemos formar com os algarismos [tex]1, 2, 3, …, 9[/tex] são aqueles que terminam em [tex]2,4, 6[/tex] ou [tex]8[/tex]. Dessa forma, vamos dividir a nossa contagem de números pares de nove algarismos distintos que podemos formar com algarismos [tex]1, 2, 3, …, 9[/tex] em dois eventos: a escolha do último dígito e a escolha dos outros oito dígitos. Utilizando a notação do Lembrete, calcularemos [tex]m_1[/tex] e [tex]m_2[/tex] e a resposta deste item será o produto [tex]m_1 \times m_2[/tex].
- Evento 1: Escolha do último dígito
- Evento 2: Escolha dos demais dígitos
Podemos escolher o último dígito de [tex]4[/tex] maneiras diferentes: ou [tex]2[/tex] ou [tex]4[/tex]
ou [tex]6[/tex] ou [tex]8[/tex].
Logo, [tex]\boxed{m_1=4}[/tex].
Vamos dividir este evento em oito etapas independentes entre si: escolha do primeiro dígito, escolha do segundo dígito, …, escolha do oitavo dígito; e aplicar o Princípio Fundamental da Contagem para calcular a quantidade de maneiras em que esses oito eventos ocorrem ao mesmo tempo obtendo, então, [tex]m_2[/tex].
Observe que, dos nove
algarismos disponíveis, restam oito, já que utilizamos um deles como último dígito. Podemos então escolher o primeiro dígito de [tex]8[/tex] maneiras diferentes; o segundo, de [tex]7[/tex] maneiras; o terceiro de [tex]6[/tex] e assim sucessivamente até o oitavo dígito.
O esqueminha abaixo ajuda na visualização da contagem.
Logo, pelo Princípio Fundamental da Contagem, segue que:
[tex]\qquad m_2=8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 =8![/tex],
ou seja,
[tex]\boxed{m_2=40\,320}[/tex].
Portanto, podemos formar [tex] 4 \times 40\,320 =\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\, 161\,280$}\,[/tex] números pares com nove algarismos distintos utilizando o conjunto dos dígitos [tex]\{1, 2, 3, …, 9\}[/tex].
Observação: Se você sabe o que é uma Permutação, você poderia ter obtido o valor de [tex]m_2[/tex] rapidamente, já que a escolha dos oito primeiros dígitos dos números pares que queremos contar é, simplesmente, o número de
permutações de oito objetos distintos, isto é, [tex]m_2=8![/tex].
Dessa forma, igualmente, o resultado final seria [tex]m_1 \times m_2=4 \times 8!= 161\,280[/tex].
(b) A escolha de dígitos do conjunto [tex]\{1, 2, 3, …, 9\}[/tex] para se formar com eles números pares de nove algarismos distintos é um experimento aleatório cujo espaço amostral, embora com muitos elementos, é finito e equiprovável. Assim, escolhendo-se ao acaso um dos números do item (a), a probabilidade [tex]P[/tex] de que este número tenha exatamente dois dígitos ímpares juntos é dada pela razão entre "casos favoráveis" e "casos possíveis", ou seja:
Para que um número par com nove dígitos distintos e todos os nove diferentes de [tex]0[/tex] tenha exatamente dois algarismos ímpares em posições consecutivas, esse número deve ter uma
das seguintes formas:
[tex]\qquad \qquad \boxed{\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{i}\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}} \quad ; \quad \boxed{\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{i}\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}} \quad ; \quad \boxed{\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{i}\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}}
\quad ; \quad \boxed{\textcolor{red}{i}\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}}.[/tex]
Vamos fazer a contagem do total de números com essas quatro formas separadamente.
- Forma [tex]\boxed{\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{i}\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}}[/tex]:
- os algarismos ímpares poderão ser escolhidos de [tex]5\times 4 \times 3 \times 2 \times 1=5![/tex] modos distintos;
- os algarismos pares poderão ser escolhidos de [tex]4 \times 3 \times 2 \times 1=4![/tex] modos distintos;
Temos cinco algarismos ímpares para ocuparem cinco posições e quatro algarismos pares para ocuparem quatro posições:
| [tex]\textcolor{red}{i}[/tex] | [tex]\textcolor{blue}{p}[/tex] | [tex]\textcolor{red}{i}[/tex] | [tex]\textcolor{blue}{p}[/tex] | [tex]\textcolor{red}{i}[/tex] | [tex]\textcolor{blue}{p}[/tex] | [tex]\textcolor{red}{i}[/tex] | [tex]\textcolor{red}{i}[/tex] | [tex]\textcolor{blue}{p}[/tex] | |||||||||
| [tex]5[/tex] alg. | [tex]4[/tex] alg. | [tex]4[/tex] alg. | [tex]3[/tex] alg. | [tex]3[/tex] alg. | [tex]2[/tex] alg. | [tex]2[/tex] alg. | [tex]1[/tex] alg. | [tex]1[/tex] alg. |
Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem
e, portanto, temos [tex]\boxed{5! \times 4!}[/tex] modos de formar esses tipos de números.
As próximas contagens serão idênticas a esta que acabamos de fazer, mas vamos explicitá-las para um melhor entendimento!
- Forma [tex]\boxed{\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{i}\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}}[/tex]:
Temos cinco algarismos ímpares para ocuparem cinco posições e quatro algarismos pares para ocuparem quatro posições:
| [tex]\textcolor{red}{i}[/tex] | [tex]\textcolor{blue}{p}[/tex] | [tex]\textcolor{red}{i}[/tex] | [tex]\textcolor{blue}{p}[/tex] | [tex]\textcolor{red}{i}[/tex] | [tex]\textcolor{red}{i}[/tex] | [tex]\textcolor{blue}{p}[/tex] | [tex]\textcolor{red}{i}[/tex] | [tex]\textcolor{blue}{p}[/tex] | |||||||||
| [tex]5[/tex] alg. | [tex]4[/tex] alg. | [tex]4[/tex] alg. | [tex]3[/tex] alg. | [tex]3[/tex] alg. | [tex]2[/tex] alg. | [tex]2[/tex] alg. | [tex]1[/tex] alg. | [tex]1[/tex] alg. |
Assim, pelo Princípio Fundamental da Contagem temos [tex]\boxed{5! \times 4!}[/tex] modos de formar esse tipo de números.
- Forma [tex]\boxed{\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{i}\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}}[/tex]:
Temos cinco algarismos ímpares para ocuparem cinco posições e quatro algarismos pares para ocuparem quatro posições:
| [tex]\textcolor{red}{i}[/tex] | [tex]\textcolor{blue}{p}[/tex] | [tex]\textcolor{red}{i}[/tex] | [tex]\textcolor{red}{i}[/tex] | [tex]\textcolor{blue}{p}[/tex] | [tex]\textcolor{red}{i}[/tex] | [tex]\textcolor{blue}{p}[/tex] | [tex]\textcolor{red}{i}[/tex] | [tex]\textcolor{blue}{p}[/tex] | |||||||||
| [tex]5[/tex] alg. | [tex]4[/tex] alg. | [tex]4[/tex] alg. | [tex]3[/tex] alg. | [tex]3[/tex] alg. | [tex]2[/tex] alg. | [tex]2[/tex] alg. | [tex]1[/tex] alg. | [tex]1[/tex] alg. |
Novamente, pelo Princípio Fundamental da Contagem temos [tex]\boxed{5! \times 4!}[/tex] modos de formar esse tipo de números.
- Forma [tex]\boxed{\textcolor{red}{i}\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}\textcolor{red}{i}\textcolor{blue}{p}}[/tex]:
Temos cinco algarismos ímpares para ocuparem cinco posições e quatro algarismos pares para ocuparem quatro posições:
| [tex]\textcolor{red}{i}[/tex] | [tex]\textcolor{red}{i}[/tex] | [tex]\textcolor{blue}{p}[/tex] | [tex]\textcolor{red}{i}[/tex] | [tex]\textcolor{blue}{p}[/tex] | [tex]\textcolor{red}{i}[/tex] | [tex]\textcolor{blue}{p}[/tex] | [tex]\textcolor{red}{i}[/tex] | [tex]\textcolor{blue}{p}[/tex] | |||||||||
| [tex]5[/tex] alg. | [tex]4[/tex] alg. | [tex]4[/tex] alg. | [tex]3[/tex] alg. | [tex]3[/tex] alg. | [tex]2[/tex] alg. | [tex]2[/tex] alg. | [tex]1[/tex] alg. | [tex]1[/tex] alg. |
Também pelo Princípio Fundamental da Contagem temos [tex]\boxed{5! \times 4!}[/tex] modos de formar esse tipo de números.
Dessa forma, temos um total de [tex]\boxed{4 \times 5! \times 4!}[/tex] números pares com nove dígitos distintos, todos os nove diferentes de zero, que tenham exatamente dois algarismos ímpares em posições consecutivas.
Aqui, também observamos que se você sabe o que é uma Permutação, você poderia ter feito essa contagem
observando que a quantidade das escolhas dos algarismos ímpares corresponde ao número de permutações de cinco objetos distintos ([tex]5![/tex]) e a quantidade das escolhas dos algarismos pares corresponde ao número de permutações de quatro objetos distintos ([tex]4![/tex])
Finalmente, a probabilidade [tex]P[/tex] de que escolhido ao acaso um dos números do item (a) este número tenha exatamente dois dígitos ímpares juntos é dada por:
[tex]\qquad \qquad P=\dfrac{4
\times 5! \times 4!}{161280}=\dfrac{11520}{161280}=\dfrac{1}{14}\approx 0,071.[/tex]
Portanto, [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\, P \approx 7,1\%$}\,[/tex].
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