Aprenda sobre o teorema de Pitágoras e a importante equação válida para todo triângulo retângulo. Show
Pitágoras foi um importante matemático e filósofo grego que viveu há aproximadamente 2500 anos. Ele descobriu uma relação muito interessante envolvendo o tamanho dos lados de triângulos retângulos e a área de quadrados. Relembrando:
O que Pitágoras observou foi que em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, em outras palavras, o quadrado da medida do lado maior é igual à soma dos quadrados das medidas dos lados menores. Assim, na figura abaixo, podemos escrever a²=b²+c². Isso significa que a área do quadrado de lado a (roxo) é igual à área do quadrado de lado b (verde) somado à área do quadrado de lado c (cinza). Essa relação é chamada de Teorema de Pitágoras e o interessante é que é verdade para qualquer triângulo retângulo, independente do tamanho dos seus lados.
Triângulo retângulo é o triângulo mais estudado na geometria plana. Possui propriedades e teoremas importantes, como o estudo da trigonometria e o teorema de Pitágoras. Triângulo retângulo é o que possui um de seus ângulos internos medindo 90°, ou seja, um ângulo reto. O triângulo é o polígono mais estudado na geometria plana, principalmente o triângulo retângulo, que possui relações específicas entre os seus lados e ângulos. Uma dessas relações é o teorema de Pitágoras, que demonstra uma relação entre os lados dessa figura. Além do teorema de Pitágoras, existem outras relações importantes, como as relações métricas e a trigonometria, com as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente, no triângulo retângulo. Ele possui uma fórmula para o cálculo da sua área, que é a mesma utilizada para outros triângulos. Para calcular o seu perímetro, basta realizar a soma dos seus lados. Leia mais: Relações fundamentais da trigonometria — igualdades pelas quais se relaciona as razões: seno, cosseno e tangente Resumo sobre triângulo retângulo
Características do triângulo retânguloO triângulo retângulo é um polígono de três lados e três ângulos que possui um de seus ângulos internos medindo 90°, ou seja, ele é reto. Com isso, os demais ângulos são agudos, ou seja, menores que 90°. Em um triângulo, o maior lado, que fica sempre oposto ao ângulo de 90º, recebe o nome de hipotenusa, e os demais lados são conhecidos como catetos.
Caso queira saber mais sobre o tema deste tópico, leia: Os componentes do triângulo retângulo. Não pare agora... Tem mais depois da publicidade ;) Perímetro do triângulo retânguloAssim como os demais polígonos, no triângulo retângulo, o perímetro é a soma do comprimento de todos os seus lados. Então, dado o triângulo retângulo com lados medindo a, b e c, seu comprimento será calculado por: Área do triângulo retânguloEm um triângulo qualquer, para calcular a sua área, multiplicamos a sua base pela altura e dividimos por 2. A única peculiaridade que o triângulo retângulo tem, quando comparado aos demais triângulos, é que a sua altura coincide com um dos seus catetos, pois sabemos que os catetos formam um ângulo reto entre eles. Então, para calcular a área do triângulo de hipotenusa de comprimento a e catetos de comprimento b e c, utilizamos a fórmula: Exemplo: dado um triângulo retângulo, de lados medindo 20 cm, 21 cm e 29 cm, o seu perímetro e a sua área terão que valor? Resolução: Começando pelo perímetro, sabemos que: P = 29 + 21 + 20 = 60 cm Agora, para calcular a área, sabemos que o maior lado é a hipotenusa, logo, vamos fazer o cálculo utilizando os outros dois lados, que medem 21 cm e 20 cm cada, então, temos que: Desse modo, a área será de 210 cm². Teorema de PitágorasO teorema de Pitágoras é uma relação entre os lados de um triângulo retângulo. O teorema diz que a hipotenusa ao quadrado é igual à soma do quadrado dos catetos. Dado um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b e c, temos que: Exemplo: encontre o valor de x no triângulo retângulo a seguir. Resolução: Aplicando o teorema de Pitágoras, temos que: x² = 6² + 8² x² = 36 + 64 x² = 100 x = √100 x = 10
Trigonometria no triângulo retânguloA trigonometria no triângulo retângulo é uma área da matemática que estuda a relação entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo. Nesse estudo, aprende-se que as razões trigonométricas são seno, cosseno e tangente, que são as razões entre os lados do triângulo. Antes de conhecer cada uma delas, é importante compreender o que são os catetos adjacente e oposto de um ângulo. Sabemos que a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo de 90°, no caso, é o segmento BC. Os lados AB e AC são conhecidos como catetos, e, dependendo do ângulo, pode se tratar de um cateto oposto a ele ou um cateto adjacente a ele. No ângulo α, o lado AC é o cateto oposto ao ângulo (pois está de frente ao ângulo), e o lado AB é o cateto adjacente ao ângulo (pois é um dos segmentos que formam o ângulo). No ângulo β, o lado AB é o cateto oposto a ele (pois está de frente ao ângulo), e o lado AC é o cateto adjacente a ele (pois é um dos segmentos que formam o ângulo). As razões seno, cosseno e tangente são: Utilizamos as razões trigonométricas para encontrar o comprimento de lados desconhecidos do triângulo retângulo. Para tanto, veja a tabela com o valor do seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis, de 30°, 45° e 60°. Tabela dos ângulos notáveisConhecendo o valor das razões trigonométricas do triângulo, dados um lado e um ângulo notável, é possível encontrar todos os lados de um triângulo retângulo com base na trigonometria. Exemplo: encontre o valor de x. Queremos encontrar o valor x, sendo que x é o cateto adjacente ao ângulo B, e conhecemos também o valor da hipotenusa desse triângulo, então a razão trigonométrica que relaciona o cateto adjacente com a hipotenusa é o cosseno. Sabendo que o cosseno de 60° é igual a 1/2, temos que: Relações métricas no triângulo retânguloAs relações métricas, como o nome sugere, são fórmulas que relacionam os segmentos de um triângulo retângulo. As relações métricas são: a² = c² + b² b² = a · n c² = a · m h² = m · n a = m + n a · h = b · c
Exercícios resolvidos sobre triângulo retânguloQuestão 1 Um terreno possui o formato de um retângulo de lados medindo 20 m e 21 m. Esse terreno será divido ao meio entre dois irmãos, Caio e Cauan. Caso Caio decida cercar a sua parte do terreno, o perímetro dela terá: A) 60 metros B) 55 metros C) 41 metros D) 38 metros E) 35 metros Resolução: Alternativa A Sabendo que esse terreno possui formato de retângulo, se traçarmos a sua diagonal, ele será dividido em dois triângulos retângulos. Para calcular o comprimento da diagonal, basta aplicar o teorema de Pitágoras: d² = 20² + 21² d² = 400 + 441 d² = 841 d = √841 d = 29 m Conhecendo o comprimento da diagonal, para encontrar seu perímetro, temos que: P = 20 + 21 + 29 = 60 metros Questão 2 (Enem) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição. Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010. Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30°. Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão? A) 1,8 km B) 1,9 km C) 3,1 km D) 3,7 km E) 5,5 km Resolução: Alternativa C Analisando a imagem, podemos perceber que a altura h pode ser dada pela tangente de 60º. Assim, a altura é de aproximadamente 3,1 km. O que são relações métricas em um triângulo retângulo?As relações métricas no triângulo retângulo são parte da geometria plana e se relacionam às medidas correspondentes em triângulos retângulos. Desta forma, a expressão encontra medidas não conhecidas de um triângulo. Assim, conseguimos encontrar catetos, a hipotenusa a partir das semelhanças entre as figuras.
Qual a relação dos triângulos?A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo retângulo é igual a 180º, no caso do triângulo retângulo que um dos ângulos sempre terá medida igual a 90º os outros dois serão complementares, ou seja, a sua soma será 90º. Matematicamente dizemos que: med ( ) + med ( ) = 90º.
Quais são as três relações trigonométricas no triângulo retângulo?As razões trigonométricas são as relações existentes entre os lados de um triângulo retângulo. As principais são o seno, o cosseno e a tangente. Lê-se cateto oposto sobre a hipotenusa. Lê-se cateto adjacente sobre a hipotenusa.
Quais são os nomes dos lados de um triângulo retângulo?Lados: Um triângulo retângulo é formado por três lados, uma hipotenusa (lado maior) e outros dois lados que são os catetos.
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