Análise de Circuitos em corrente alternada Exercícios resolvidos pdf

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Judul Asli

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11. Circuitos de corrente alternada

Problema 2

A resistência de uma bobina é 150 Ω e a sua indutância é 1.4 H. A bobina é ligada à rede elétrica com tensão máxima 325 V e frequência de 50 Hz. Encontre a expressão para a corrente na bobina em função do tempo t .

Usaremos unidades SI. A frequência angular da tensão e da corrente é

ω=2πf=100π≈ 314.16

A bobina é considerada como uma resitência em série com um indutor. Como tal, a sua impedância é a soma das impedâncias da resistência e do indutor:

Z=150+i1.4×314.16 =1502+439.8242tan−1439.824150 =464.71.242

Admitindo que a tensão da rede elétrica em função do tempo seja 325 cos(ωt) , a voltagem máxima na bobina será 325~V, com fase ϕV = 0. A corrente máxima e o desfasamento da corrente na

Imáx=Vmáx|Z| =325464.7=0.6694 ϕ=ϕV−ϕZ=−1.242

E a expressão para a corrente é

I(t)=0.6694cos(314.16t−1.242)

Problema 6

Nos dois circuitos representados na figura, calcule a corrente e a tensão em todos os elementos do circuito.

(a) Usando unidades de kΩ para as impedâncias, H para as indutâncias, µF para as capacidades, V para as voltagens e kHz para as frequências, a frequência angular da fonte e as impedâncias dos 3 elementos no circuito são as seguintes:

(%i1) w: 2*%pi*60/1000;
(%o1)

(%i2) [z1,z2,z3]: float([3, 1/%i/w, %i*2*w])$

A voltagem no sistema da resistência em série com o condensador é igual à voltagem da fonte; como tal, o fasor da corrente através desses dois elementos é

(%i3) I1: 170/(z1+z2)$
(%i4) [cabs(I1), carg(I1)];
(%o4) [42.45, 0.724]

Ou seja, se t for dado em ms, a expressão da corrente é:

I1=I2=42.45cos3π25t+0.724

As voltagens na resistência e no condensador são então

(%i5) V1: z1*I1$
(%i6) [cabs(V1), carg(V1)];
(%o6) [127.4, 0.724]
(%i7) V2: z2*I1$
(%i8) float([cabs(V2), carg(V2)]);
(%o8) [112.6, -0.8468]

V1=127.4cos3π25t+0.724 V2=112.6cos3π25t−0.8468

No indutor, a voltagem é a mesma voltagem da fonte:

V3=170cos3π25t

e a corrente é

(%i9) I3: 170/z3$
(%i10) [cabs(I3), carg(I3)];
(%o10)

I3=225.5cos3π25t−π2

(b) Segue-se exatamente o mesmo procedimento da alínea (a), mas com os novos valores de frequência e voltagem máxima da fonte e tendo em conta que agora z1 é a impedância do condensador, z2 a impedância do indutor e z3 a impedância da resistência.

(%i11) w: 2*%pi*50/1000;
(%o11)

(%i12) [z3,z1,z2]: float([3, 1/%i/w, %i*2*w])$
(%i13) I1: 325/(z1+z2)$
(%i14) [cabs(I1), carg(I1)];
(%o14)

(%i15) V1: z1*I1$
(%i16) [cabs(V1), carg(V1)];
(%o16) [404.9, 0]
(%i17) V2: z2*I1$
(%i18) [cabs(V2), carg(V2)];
(%o18)

(%i19) I3: 325/z3$
(%i20) [cabs(I3), carg(I3)];
(%o20) [108.3, 0]

Como tal, a corrente e a voltagem no condensador são:

I1=127.2cosπ10t+π2 V1=404.9cosπ10t

No indutor:

I2=127.2cosπ10t+π2 V2=79.93cos π10t+π

E na resistência:

I3=108.3cosπ10t V3=325cosπ10t

Problema 7

A figura mostra um filtro rejeita-banda que atenua as frequências angulares próximas de 1 kHz. (a) Determine a função de resposta em frequência, H(iω) , do circuito. (b) Mostre que para ω=1 kHz, H(iω) é igual a zero. (c) Calcule o módulo de H(iω) e trace o seu gráfico para ω entre 0 e 2 kHz.

(a) Usando unidades de kΩ para as impedâncias, H para a indutância, µF para a capacidade e kHz para a frequência ω , as impedâncias do condensador, o indutor e a resistência são:

(%i21) [z1, z2, z3]: [1/(%i*w*10), %i*w/10, 1]$

A impedância equivalente é igual a

(%i22) z: z1*z2/(z1+z2) + z3$

E os fasores da corrente e da voltagem na resistência são então:

(%i23) I: Ve/z$
(%i24) V: I$

A função de resposta em frequência é,

(%i25) H: ratsimp (V/Ve);
(%o25)

Pode eliminar-se o fator comum i no numerador e denominador, ficando:

H(iω)=10ω2−1010ω2−10−iω

(b) O valor da função de resposta em frequência, para ω=1 kHz, é então,

(%i26) subst (w=1, H);
(%o26)

(c) O módulo da função de resposta, |H(iω)| , obtém-se usando a função cabs do Maxima:

(%i27) modH: ratsimp (cabs(H));
(%o27)

|H(iω)|=⏐⏐10ω2−10⏐⏐100ω4−199ω2+100

O gráfico dessa função, entre 0 e 2 kHz, obtém-se com o seguinte comando:

(%i28) plot2d (modH, [w,0,2], [y,0,1.2], [xlabel,"w (kHz)"], [ylabel,"|H(iw)|"]);

Comentários: Observe-se que em quase tudo o intervalo de frequências |H(iω)| é aproximadamente igual a 1, o que implica que o sinal de entrada não é atenuado. No entanto, em ω = 1 kHz, |H| = 0, ou seja, o sinal de saída é nulo. É por essa razão que o filtro chama-se rejeita-banda; as frequências angulares próximas de uma frequência típica do filtro, neste caso 1 kHz, são eliminadas no sinal de saída.

Problema 10

A figura mostra o ecrã de um osciloscópio onde aparecem a tensão e a corrente num elemento de um circuito. As distâncias L e d foram medidas diretamente no ecrã, obtendo-se os valores L = 6 cm, d = 1 cm. O osciloscópio também permite determinar que a tensão máxima é Vmáx = 36 V e a corrente máxima é Imáx = 12 mA. Com esses dados, calcule a parte real e a parte imaginária da impedância do elemento do circuito.

O ângulo da impedância é igual à constante de fase da tensão menos a constante de fase da corrente:

ϕZ=ϕV−ϕI

O gráfico mostra que a tensão está adiantada em relação à corrente (V passa pelo seu valor máximo ou mínimo um pouco antes que I ); a diferença das fases, ϕV−ϕI , é então positiva e corresponde à distância d no gráfico. Como a distância L corresponde a um ângulo de 2π , então a o ângulo da impedância é:

ϕZ=ϕV−ϕI=dL2π=π3

O módulo da impedância é, em kΩ, é igual à tensão máxima em volts dividida pela corrente máxima em miliampere.

|Z|= VmáxImáx=3612=3

A impedância, em kΩ, é o número complexo:

Z=3π3

E as partes real e imaginária da impedância são:

Z=3cos π3+i3sinπ3=(1. 5+i2.598)k Ω