A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é 3240 qual é o polígono

Matemática

Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro BarrosoColégio Estadual Dinah Gonçalves www.ensinodematemtica.blogspot.com.brwww.accbarrosogestar.blogspot.com.br www.accbarrosogestar.wordpress.com

Soma dos ângulos internos de um polígono convexo

Marcelo Rigonatto

Polígonos

Através de uma demonstração simples, podemos constatar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo equivale a 180o. O mesmo pode ser feito para os demais polígonos convexos. Sabendo o número de lados de um polígono, conseguimos determinar a soma das medidas de seus ângulos internos.

Um quadrilátero pode ser dividido em dois triângulos, portanto a soma das medidas de seus ângulos internos é:

S = 2∙180O = 360O

Um pentágono pode ser dividido em três triângulos, logo, a soma das medidas de seus ângulos internos é:

S = 3∙180O = 540O

Partindo da mesma ideia, um hexágono pode ser dividido em 4 triângulos. Assim, a soma das medidas de seus ângulos internos é:

S = 4∙180O = 720O

Generalizando, se um polígono convexo possui n lados, a soma das medidas de seus ângulos internos será dada por:

Exemplo 1. Determine a soma das medidas dos ângulos internos de um icoságono.

Solução: Icoságono é um polígono convexo com 20 lados, logo, n = 20. Assim, teremos:

S = (n - 2)∙180o
S = (20 - 2)∙180o
S = 18∙180o
S = 3240o

Exemplo 2. Quantos lados possui um polígono cuja soma das medidas dos ângulos internos é igual a 1440o?

Solução: Sabemos que S = 1440o e queremos determinar a quantidade de lados que esse polígono possui, ou seja, determinar o valor de n. Vamos resolver o problema utilizando a fórmula da soma dos ângulos internos.

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Os polígonos são figuras planas e fechadas constituídas por segmentos de reta. A palavra "polígono" advém do grego e constitui a união de dois termos "poly" e "gon" que significa "muitos ângulos".

Os polígonos podem ser simples ou complexos. Os polígonos simples são aqueles cujos segmentos consecutivos que o formam não são colineares, não se cruzam e se tocam apenas nas extremidades.

Quando existe intersecção entre dois lados não consecutivos, o polígono é chamado de complexo.

Polígono convexo e côncavo

A junção das retas que formam os lados de um polígono com o seu interior é chamada de região poligonal. Essa região pode ser convexa ou côncava.

Os polígonos simples são chamados de convexos quando qualquer reta que une dois pontos, pertencente a região poligonal, ficará totalmente inserida nesta região. Já nos polígonos côncavos isso não acontece.

Polígonos regulares

Quando um polígono apresenta todos os lados congruentes entre si, ou seja, possuem a mesma medida, ele é chamado de equilátero. Quando todos os ângulos têm mesma medida, ele é chamado de equiângulo.

Os polígonos convexos são regulares quando apresentam os lados e os ângulos congruentes, ou seja, são ao mesmo tempo equiláteros e equiângulos. Por exemplo, o quadrado é um polígono regular.

Elementos do Polígono

• Vértice: corresponde ao ponto de encontro dos segmentos que formam o polígono.
• Lado: corresponde a cada segmentos de reta que une vértices consecutivos.
• Ângulos: os ângulos internos correspondem aos ângulos formados por dois lados consecutivos. Por outro lado, os ângulos externos são os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado sucessivo a ele.
• Diagonal: corresponde ao segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos, ou seja, um segmento de reta que passa pelo interior da figura.

Nomenclatura dos Polígonos

Dependendo do número de lados presentes, os polígono são classificados em:

Saiba mais sobre os Quadriláteros.

Soma dos ângulos de um polígono

A soma dos ângulos externos dos polígonos convexos é sempre igual a 360º. Entretanto, para obter a soma dos ângulos internos de um polígono é necessário aplicar a seguinte fórmula:

Sendo:

n: número de lados.do polígono

Exemplo

Qual é o valor da soma dos ângulos internos de um icoságono convexo?

Solução

O icoságono convexo é um polígono que apresenta 20 lados, ou seja n = 20. Aplicando esse valor na fórmula, temos:

Assim, a soma dos ângulos internos do icoságono é igual a 3240º.

Número de diagonais

Para calcular o número de diagonais de um polígono, utiliza-se a seguinte fórmula:

Exemplo

Quantas diagonais apresenta um octógono convexo?

Solução

Considerando que o octógono possui 8 lados, aplicando a fórmula, temos:

Portanto, um octógono convexo contém 20 diagonais.

Na tabela abaixo, temos o valor da soma dos ângulos internos e o número de diagonais dos polígonos convexos de acordo com o número de lados:

Perímetro e área dos polígonos

O perímetro é a soma das medidas de todos os lados de uma figura. Assim, para conhecer o perímetro de um polígono, basta somar as medidas dos lados que o compõe.

A área é definida como a medida da sua superfície. Para encontrar o valor da área de um polígono, utilizamos fórmulas de acordo com o tipo de polígono.

Por exemplo, a área do retângulo é encontrada multiplicando-se a medida da largura pelo comprimento.

Já a área do triângulo é igual a multiplicação da base pela altura e o resultado dividimos por 2.

Para saber como calcular a área de outras polígonos, leia também:

• Área dos Polígonos
• Área do Quadrado
• Área do Losango
• Área do Trapézio
• Área do Paralelogramo
• Áreas de Figuras Planas
• Área de Figuras Planas - Exercícios
• Polígonos regulares

Fórmula da área do polígono a partir do perímetro

Quando conhecemos o valor do perímetro de um polígono regular, podemos utilizar a seguinte fórmula para calcular a sua área:

Sendo:

p: semiperímetro (a medida do perímetro dividido por 2).
a: apótema

Veja também: Área do Hexágono

Exercícios Resolvidos

1) CEFET/RJ - 2016

O quintal da casa de Manoel é formado por cinco quadrados ABKL, BCDE, BEHK, HIJK e EFGH, de igual área e tem a forma da figura ao lado. Se , então a área do quintal é:

a) 20 m2
b) 30 m2
c) 40 m2
d) 50 m2

Ver Resposta

Resposta correta: a) 20 m².

O segmento BG corresponde a diagonal do retângulo BFGK. Essa diagonal divide o retângulo em dois triângulos retângulos, sendo igual a sua hipotenusa.

Como a figura é composta de quadrados, seus segmentos são iguais, e os chamaremos de L. Podemos destacar o seguinte triângulo com suas medidas, assim:

Passo 1: determinar o valor de L.

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo verde BFG, temos:

Passo 2: cálculo da área de cada quadrado.

Esse valor é a medida do lado de cada quadrado que forma a figura. Assim, a área de cada quadrado será igual a:

A = L2
A = 22 = 4 m2

Passo 3: área total do quintal.

Como são 5 quadrados, a área total da figura será igual a:

AT = 5 . 4 = 20 m2

Portanto, a área total do terreno é igual a 20 m².

2) Faetec/RJ - 2015

Um polígono regular cujo perímetro mede 30 cm possui n lados, cada um deles medindo (n - 1) cm. Esse polígono é classificado como um:

a) triângulo
b) quadrado
c) hexágono
d) heptágono
e) pentágono

Ver Resposta

Sendo o polígono regular, então seus lados são congruentes, ou seja, possuem a mesma medida. Como o perímetro é a soma de todos os lados de um polígono, então temos a seguinte expressão:

P = n. L

Sendo a medida de cada lado igual a (n - 1), então a expressão fica:

30 = n . (n -1)
30 = n2 - n
n2 - n -30 = 0

Vamos calcular essa equação do 2º grau usando a fórmula de Bhaskara. Assim, temos:

A medida do lado deve ser um valor positivo, portanto iremos desconsiderar o -5, logo n= 6. O polígono que apresenta 6 lados é chamado de hexágono.

Alternativa: c) hexágono

Pratique mais

• O que é um quadrado? Definição, fórmulas e exercícios
• Exercícios sobre polígonos.
• Soma dos ângulos internos de um polígono

Para saber mais, leia também Formas Geométricas e Fórmulas de Matemática.

Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.

Qual é o polígono que tem a soma dos ângulos internos igual a 3240?

Qual a soma dos ângulos internos polígono convexo?

Qual é o número de lados de um polígono convexo no qual soma dos ângulos internos e 1440º?

Qual é o polígono convexo em que a soma das medidas dos ângulos internos e 900?